Cách lập phương trình đường cao của tam giác - Toán 10

Cho tam giác ABC có đường cao AH. Để lập phương trình đường cao AH, ta thực hiện:

B1: Tìm toạ độ \(\overrightarrow {BC}  = (a;b)\) là vecto pháp tuyến của AH.

B2: Lập phương trình AH đi qua \(A({x_A};{y_A})\), nhận \(\overrightarrow {BC} \) làm vecto pháp tuyến:

- Phương trình tổng quát: \(a(x - {x_A}) + b(y - {y_A}) = 0\).

- Phương trình tham số: \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_A} - bt\\y = {y_A} + at\end{array} \right.\).

1) Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác ABC có A(1; 2), B(3; 0) và C(-2; -1). Lập phương trình đường cao kẻ từ A.

Giải:

Gọi đường cao cần tìm là AH. Đường cao kẻ từ A của tam giác ABC là đường thẳng đi qua A và có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 5; - 1} \right)\) nên phương trình tổng quát của đường cao đó là: \( - 5\left( {x - 1} \right) - 1\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow -5x - y + 7 = 0\). Phương trình tham số: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - 5t\end{array} \right.\).

2) Cho tam giác ABC có A(2; 1), B(0; 3), C(-2; -2). Lập phương trình đường cao kẻ từ B.

Giải:

Gọi đường cao cần tìm là BK. Đường cao kẻ từ B của tam giác ABC là đường thẳng đi qua B và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{AC} = (-4; -3)$ nên phương trình đường cao đó là: $-4(x-0) - 3(y-3) = 0 \Leftrightarrow -4x - 3y + 9 = 0 \Leftrightarrow 4x + 3y - 9 = 0$. Phương trình tham số: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3t\\y = 3 - 4t\end{array} \right.\).

3) Cho tam giác ABC có A(1; 1), B(5; 2), C(3; -3). Lập phương trình đường cao kẻ từ C.

Giải:

Gọi đường cao cần tìm là CI. Đường cao kẻ từ C của tam giác ABC là đường thẳng đi qua C và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{AB} = (4; 1)$ nên phương trình đường cao đó là: $4(x-3) + 1(y+3) = 0 \Leftrightarrow 4x + y - 12 + 3 = 0 \Leftrightarrow 4x + y - 9 = 0$. Phương trình tham số: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = -3 - 4t\end{array} \right.\)