Bài tập 28 trang 92 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 2

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi M và N là trung điểm của AH và BH.

a) Chứng minh rằng tam giác HMN và tam giác HAB đồng dạng

b) Chứng minh rằng HM.HA = HN.HC.

c) Chứng minh rằng tam giác AHN đồng dạng với tam giác AHM.

d) Gọi K là giao điểm của MN với AC, I là giao điểm CN với AN. Chứng minh KM là tia phân giác của góc IKH.

Lời giải chi tiết

a) M, N lần lượt là trung điểm của AH và BH (gt)

=> MN là đường trung bình của ∆ABH => MN // AB

Xét ∆HMN và ∆HAB có: $\widehat {MHN}$ (chung)

Và $\widehat {NMH} = \widehat {BAH}$ (hai góc đồng vị và MN // AB)

Do đó $\Delta HMN \sim \Delta HAB(g.g)$

b) Ta có: $\widehat {ABC} = \widehat {HAC}$ (cùng phụ với góc C)

Và $\widehat {ABC} = \widehat {MNH}$ (hai góc đồng vị và MN // AB) $\Rightarrow \widehat {HAC} = \widehat {MNH}$

Xét ∆HAC và ∆HNM có: $\widehat {HAC} = \widehat {MNH}$ và $\widehat {AHC} = \widehat {MHN}( = 90^\circ )$

Do đó $\Delta HAC \sim \Delta HNM(g.g)$

$\Rightarrow {{HA} \over {HN}} = {{HC} \over {HM}}$

$\Rightarrow HM.HA = HN.HC$

c) Xét ∆ANH và ∆MHC có: ${{AH} \over {CH}} = {{HN} \over {HM}}$ (vì HM.HA=HN.HC)

Và $\widehat {AHN} = \widehat {MHC}( = 90^\circ )$

$\Rightarrow \Delta ANH \sim \Delta CMH(c.g.c)$

d) Ta có MN // AB, $AB \bot AC \Rightarrow MN \bot AC$

∆ANC có AH, NK là hai đường cao cắt nhau tại M

=> M là trực tâm của tam giác ANC

=> CM là đường cao của tam giác ANC $\Rightarrow CM \bot AN$

Xét ∆AKN và ∆AIC có: $\widehat {KAN}$ (chung) và $\widehat {AKN} = \widehat {AIC}( = 90^\circ )$

Do đó $\Delta AKN \sim \Delta AIC(g.g)$

$\Rightarrow {{AK} \over {AI}} = {{AN} \over {AC}}$

$\Rightarrow {{AK} \over {AN}} = {{AI} \over {AC}}$

Xét ∆AKI và ∆ABC có: ${{AK} \over {AN}} = {{AI} \over {AC}},\widehat {KAI}(chung)$

Do đó $\Delta AKI \sim \Delta ANC(c.g.c)$

$\Rightarrow \widehat {AKI} = \widehat {ANC}$

Tương tự $\Delta CKH \sim \Delta CNA \Rightarrow \widehat {CKH} = \widehat {ANC}$

Ta có $\widehat {AKI} = \widehat {CKH}( = \widehat {ANC})$ mà $\widehat {AKI} + \widehat {MKI} = \widehat {CKM} + \widehat {MKH}( = 90^\circ )$

Do đó $\widehat {MKI} = \widehat {MKH} \Rightarrow KM$ là tia phân giác của góc IKH

Loigiaihay.com