Bài tập 27 trang 92 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 2Giải bài tập Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Kẻ đường cao AH Quảng cáo
Đề bài Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Kẻ đường cao AH \(\left( {H \in BC} \right)\) a) Chứng minh rằng AB2 = BH.BC. b) Vẽ HM vuông góc với AB, HN vuông góc với BC. Chứng minh rằng HB.HC = AM.AB. c) Đường thẳng MN cắt đường thẳng BC ở E. Chứng minh rằng EM.EN = EB.EC. d) Chứng minh rằng tam giác BMN đồng dạng với tam giác MHC. Lời giải chi tiết
a) Xét ∆ABH và ∆ABC có: góc B (chung) và \(\widehat {AHB} = \widehat {BAC}( = 90^\circ )\) Do đó \(\Delta ABH \sim \Delta CBA(g.g)\) \(\Rightarrow {{AB} \over {BC}} = {{BH} \over {AB}}\) \(\Rightarrow A{B^2} = BH.BC\) b) Xét ∆ABH và ∆AHC có: \(\widehat {BAH} = \widehat {ACH}\) (cùng phụ với góc B) Và \(\widehat {AHB} = \widehat {AHC}( = 90^\circ )\) Do đó \(\Delta ABH \sim \Delta CAH(g.g)\) \( \Rightarrow {{AH} \over {HC}} = {{BH} \over {AH}} \) \(\Rightarrow A{H^2} = BH.HC(1)\) Xét ∆AMH và ∆ABH có: \(\widehat {MAH}\) (chung) và \(\widehat {AMH} = \widehat {AHB}( = 90^\circ )\) Do đó \(\Delta AMH \sim \Delta AHB(g.g)\) \(\Rightarrow {{AH} \over {AB}} = {{AM} \over {AH}} \) \(\Rightarrow A{H^2} = AM.AB(2)\) Từ (1) và (2) suy ra: HB.HC=AM.AB c) Xét ∆AHN và ∆AHC có: góc HAN chung và \(\widehat {ANH} = \widehat {AHC}( = 90^\circ )\) Do đó \(\Delta AHN \sim \Delta AHC(g.g)\) \(\Rightarrow {{AH} \over {AC}} = {{AN} \over {AH}} \) \(\Rightarrow A{H^2} = AN.AC\) Mà \(A{H^2} = AM.AB\) (câu b) nên \(AN.AC = AM.AB \Rightarrow {{AN} \over {AB}} = {{AM} \over {AC}}\) Xét ∆AMN và ∆ABC có: \({{AN} \over {AB}} = {{AM} \over {AC}}\) và \(\widehat {MAN}(chung)\) Do đó \(\Delta AMN \sim \Delta ACB(c.g.c)\) \(\Rightarrow \widehat {AMN} = \widehat {ACB}\) Mà \(\widehat {AMN} = \widehat {EMB}\) (đối đỉnh) nên \(\widehat {ACB} = \widehat {EMB}\) Xét ∆ENC và ∆EBM ta có: \(\widehat {MEB}\) (chung) và \(\widehat {NCB} = \widehat {EMB}\) (chứng minh trên) Do đó \(\Delta ENC \sim \Delta EBM(g.g)\) \(\Rightarrow {{EN} \over {EB}} = {{EC} \over {EM}}.\) Vậy EN.EM=EB.EC d) Xét tứ giác AMHN có: \(\widehat {MAN} = 90^\circ \) (∆ABC vuông tại A), \(\widehat {AMH} = 90^\circ (MH \bot AB\) tại M) và \(\widehat {ANH} = 90^\circ (NH \bot AC\) tại N) Do đó tứ giác AMHN là hình chữ nhật => MN = AH Xét ∆BMH và ∆AHC có: \(\widehat {BMH} = \widehat {AHC}( = 90^\circ )\) và \(\widehat {MHB} = \widehat {ACH}\) (hai góc so lê trong và MH // AC) Do đó \(\Delta BMH \sim \Delta AHC(g.g)\) \(\Rightarrow {{BM} \over {AH}} = {{MH} \over {HC}} \Rightarrow {{BM} \over {MH}} = {{AH} \over {HC}}\) Mà AH = MN nên \({{BM} \over {MH}} = {{MN} \over {HC}}\) Ta có: \(\widehat {BMN} + \widehat {AMN} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) \(\widehat {MHC} + \widehat {MHB} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) Và \(\widehat {AMN} = \widehat {MHB}( = \widehat {ACB})\) \(\Rightarrow \widehat {BMN} = \widehat {MHC}\) Xét ∆BMN và ∆MHC có: \({{BM} \over {MH}} = {{MN} \over {HC}}\) và \(\widehat {BMN} = \widehat {MHC}\) Do đó \(\Delta BMN \sim \Delta MHC(c.g.c)\) Loigiaihay.com
Quảng cáo
|