Bài 90 trang 131 SGK giải tích 12 nâng cao

Đề bài

Giả sử đồ thị (G) của hàm số $y = {{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^x}} \over {\ln 2}}$ cắt trục tung tại điểm A và tiếp tuyến của (G) tại A cắt trục hoành tại điểm B. Tính giá trị gần đúng của diện tích của tam giác OAB (chính xác đến hàng phần nghìn).

Lời giải chi tiết

Cho $x = 0 \Rightarrow y = {1 \over {\ln 2}}$

Tọa độ điểm $A\left( {0;{1 \over {\ln 2}}} \right)$.
Vậy $OA = {1 \over {\ln 2}}$
Ta có $y' = {{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^x}.\ln \sqrt 2 } \over {\ln 2}} = {1 \over 2}{\left( {\sqrt 2 } \right)^x}$

$\Rightarrow y'\left( 0 \right) = {1 \over 2}$
Phương trình tiếp tuyến tại A là: $y - {1 \over {\ln 2}} = {1 \over 2}(x-0)$

$\Rightarrow y = {1 \over 2}x + {1 \over {\ln 2}}$
Giao điểm B của tiếp tuyến với trục hoành:

Cho $y=0$ ta được: 

$\frac{1}{2}x + \frac{1}{{\ln 2}} = 0 \Leftrightarrow x =  - \frac{2}{{\ln 2}}$ $\Rightarrow B\left( { - {2 \over {\ln 2}};0} \right)$ suy ra $OB = {2 \over {\ln 2}}$

Vậy ${S_{OAB}} = {1 \over 2}OA.OB$ $= {1 \over 2}.{1 \over {\ln 2}}.{2 \over {\ln 2}} = {1 \over {{{\ln }^2}2}} \approx 2,081$

Cách khác:

Cho $x = 0 \Rightarrow y = {1 \over {\ln 2}}$

Tọa độ điểm $A\left( {0;{1 \over {\ln 2}}} \right)$.
Vậy $OA = {1 \over {\ln 2}}$
Ta có $y' = {{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^x}.\ln \sqrt 2 } \over {\ln 2}} = {1 \over 2}{\left( {\sqrt 2 } \right)^x}$

Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (G) tại A là:

$y'\left( 0 \right) = \tan \widehat {OBA} = \frac{1}{2}$

Trong tam giác OAB, ta có:

$\frac{{OA}}{{OB}} = \tan \widehat {OBA} = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow OB = 2OA = \frac{2}{{\ln 2}}$

Do đó diện tích tam giác OAB là

${S_{OAB}} = \frac{1}{2}OA.OB  = \frac{1}{2}.\frac{1}{{\ln 2}}.\frac{2}{{\ln 2}}$ $= \frac{1}{{{{\ln }^2}2}} \approx 2,081$

 Loigiaihay.com