Bài 9 trang 92 SGK Toán 7 tập 2

Đề bài

Chứng minh rằng: Nếu tam giác $ABC$ có đường trung tuyến xuất phát từ $A$ bằng một nửa cạnh $BC$ thì tam giác đó vuông tại $A.$

Ứng dụng: Một tờ giấy bị rách ở mép (h.65). Hãy dùng thước và compa dựng đường vuông góc ở cạnh $AB$ tại $A.$

Lời giải chi tiết

Giả sử $∆ABC$ có $AD$ là đường trung tuyến ứng với $BC$ và  $AD = \dfrac{1}{2}BC$.

$\Rightarrow   AD = BD = DC$. 

Hay $∆ADC, ∆ADB$ cùng cân tại $D$. Do đó: 

 $\left. {\matrix{ {\widehat {{A_1}} = \widehat {{C_1}}}  \cr  {\widehat {{A_2}} = \widehat {{B_1}}}  \cr  } } \right\} \Rightarrow \widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} = \widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}}$

Mà  $\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} + \widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}}$$=\widehat {{BAC}}+ \widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}} = {180^o}$ (Theo định lí tổng ba góc trong $∆ABC$)

$\Rightarrow$  $\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} = \dfrac{180^0}{2}={90^o}$

Hay $∆ABC$ vuông tại $A.$

Áp dụng

- Vẽ đường tròn $(A;r)$;  $r > \dfrac{{AB}}{2}$; vẽ đường tròn $(B, r)$

- Gọi $C$ là giao điểm của $2$ cung tròn nằm ở phía trong tờ giấy.

- Trên tia $BC$ lấy $D$ sao cho $BC = CD$ $\Rightarrow  AB  ⊥ AD.$

Thật vậy: $∆ABD$ có $AC$ là trung tuyến ứng với $BD$ ($BD = CD$) và $AC = BC = CD$ (theo cách vẽ).

$\Rightarrow  AC = \dfrac{1}{2} BD$ 

$\Rightarrow   ∆ ABD$ vuông tại $A.$

Loigiaihay.com