Bài 8 trang 92 SGK Toán 7 tập 2

Đề bài

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$; đường phân giác $BE$. Kẻ $EH$ vuông góc với $BC$ ($H \in BC)$. Gọi $K$ là giao điểm của $AB$ và $HE.$ Chứng minh rằng:

a) $∆ABE= ∆HBE.$

b) $BE$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AH.$

c) $EK = EC.$

d) $AE < EC.$

Lời giải chi tiết

 a) Xét hai tam giác vuông $∆ABE$ và $∆HBE$, ta có:

+) $\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}$ (do $BE$ là phân giác của góc $B$)

+) $BE$ cạnh huyền chung

Vậy $∆ABE = ∆HBE$  (cạnh huyền-góc nhọn)

b) Vì $∆ABE = ∆HBE$ (câu a)

 $\Rightarrow  BA = BH, EA = EH$ (hai cạnh tương ứng)

$\Rightarrow  E, B$ cùng thuộc trung trực của $AH$ nên đường thẳng $EB$ là trung trực của $AH.$

c) Xét $∆AEK$ và $∆HEC$, ta có: 

+) $\widehat {EAK} = \widehat {EHC} = {90^0}$

+) $EA = EH$ (chứng minh trên)

+) $\widehat {{E_2}} = \widehat {{E_1}}$ (hai góc đối đỉnh)

Vậy $∆AEK = ∆HEC$ (g.c.g)

$\Rightarrow   EK = EC$ (Hai cạnh tương ứng) (điều phải chứng minh)

d) Trong tam giác vuông $AEK$ ta có:

$AE < EK$ (cạnh huyền lớn hơn cạnh góc vuông)

Mà $EC = EK$ (chứng minh trên)

Suy ra $AE < EC$ (điều phải chứng minh).

Loigiaihay.com