Bài 9 trang 59 SGK Hình học 10

Đề bài

Cho hình bình hành $ABCD$ có $AB = a, BC = b ,BD = m$, và $AC = n$. Chứng minh rằng :

$${m^2} + {n^2} = 2({a^2} + {b^2})$$

Lời giải chi tiết

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Khi đó O là trung điểm của AC và BD.

Tam giác ABD có AO là đường trung tuyến.

Áp dụng định lí về đường trung tuyến:

$A{O^2} = \frac{{2\left( {A{B^2} + A{D^2}} \right) - B{D^2}}}{4}$

Mà O là trung điểm AC nên $AO = \frac{{AC}}{2} = \frac{n}{2}$

Thay $OA = \frac{n}{2}, \, AB = a,$ $AD = BC = b$ và $BD = m$ ta được: 

$\begin{array}{l} {\left( {\frac{n}{2}} \right)^2} = \frac{{2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - {m^2}}}{4}\\ \Leftrightarrow \frac{{{n^2}}}{4} = \frac{{2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - {m^2}}}{4}\\ \Leftrightarrow {n^2} = 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - {m^2}\\ \Leftrightarrow {m^2} + {n^2} = 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \end{array}$

Cách 2:

Áp dụng định lý đường trung tuyến cho tam giác ABC có BO là đường trung tuyến ra có:

$\begin{array}{l} B{O^2} = \frac{{2\left( {B{A^2} + B{C^2}} \right) - A{C^2}}}{4}\\ \Leftrightarrow {\left( {\frac{m}{2}} \right)^2} = \frac{{2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - {n^2}}}{4}\\ \Leftrightarrow \frac{{{m^2}}}{4} = \frac{{2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - {n^2}}}{4}\\ \Leftrightarrow {m^2} = 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - {n^2}\\ \Leftrightarrow {m^2} + {n^2} = 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \end{array}$

Cách 3:

Áp dụng định lí cô sin cho tam giác ABC có:

$\begin{array}{l} A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB.BC\cos \widehat {ABC}\\ \Rightarrow {n^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos \widehat {ABC} \end{array}$

Áp dụng định lí cô sin cho tam giác ABD có:

$\begin{array}{l} B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} - 2AB.AD\cos \widehat {BAD}\\ \Rightarrow {m^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos \widehat {BAD} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {m^2} + {n^2}\\ = \left( {{a^2} + {b^2}} \right) - 2ab\cos \widehat {ABC}\\ + \left( {{a^2} + {b^2}} \right) - 2ab\cos \widehat {BAD}\\ = 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - 2ab\left( {\cos \widehat {ABC} + \cos \widehat {BAD}} \right) \end{array}$

Mà $\widehat {ABC} + \widehat {BAD} = {{180}^0}$ $\Rightarrow \cos \widehat {ABC} =  - \cos \left( {{{180}^0} - \widehat {ABC}} \right)$ $=  - \cos \widehat {BAD}$

$\Rightarrow \cos \widehat {ABC} + \cos \widehat {BAD} = 0$

Vậy ${m^2} + {n^2} = 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)$.

Loigiaihay.com