Bài 89 trang 131 SGK giải tích 12 nâng cao

Đề bài

Chứng minh rằng hàm số $y = \ln {1 \over {1 + x}}$ thỏa mãn hệ thức $xy' + 1 = {e^y}$

Lời giải chi tiết

Điều kiện: $x > -1$.

Ta có $y = \ln 1 - \ln \left( {1 + x} \right)=  - \ln \left( {1 + x} \right)$

$\Rightarrow y' =  - \dfrac{{\left( {1 + x} \right)'}}{{1 + x}}=  - {1 \over {1 + x}}$

Khi đó: $xy' + 1 = {{ - x} \over {1 + x}} + 1  = \frac{{ - x + 1 + x}}{{1 + x}}= {1 \over {1 + x}}$

Lại có ${e^y} = {e^{\ln \left( {\frac{1}{{1 + x}}} \right)}} = \frac{1}{{1 + x}}$

Vậy $xy' + 1 = {e^y}$

Chú ý:

Các em có thể tính đạo hàm cách khác nhưng dài hơn như sau:

$\begin{array}{l} y = \ln \frac{1}{{1 + x}}\\ y' = \frac{{\left( {\frac{1}{{1 + x}}} \right)'}}{{\frac{1}{{1 + x}}}} = \left( {\frac{1}{{1 + x}}} \right)':\frac{1}{{1 + x}}\\ = - \frac{{\left( {1 + x} \right)'}}{{{{\left( {1 + x} \right)}^2}}}.\left( {1 + x} \right)\\ = - \frac{1}{{{{\left( {1 + x} \right)}^2}}}.\left( {1 + x} \right)\\ = - \frac{1}{{1 + x}} \end{array}$

   Loigiaihay.com