Bài 88 trang 51 SBT Hình học 10 Nâng cao

Giải bài tập Bài 88 trang 51 SBT Hình học 10 Nâng cao

Quảng cáo

Đề bài

Cho điểm \(D\) nằm trong tam giác \(ABC\) sao cho \(\widehat {DAB} = \widehat {DBC} = \widehat {DCA} = \varphi .\) Chứng minh rằng:

a) \({\sin ^3}\varphi  = \sin (A - \varphi )\)\(.\sin (B - \varphi ).\sin (C - \varphi ).\)

b) \(\cot \varphi  = \cot A + \cot B + \cot C.\)

Lời giải chi tiết

(h.75).

 

a) Theo định lí sin, trong tam giác \(ABD\) ta có

\(\dfrac{{DB}}{{\sin \varphi }} = \dfrac{{AD}}{{\sin (B - \varphi )}}\) ,     (1)

trong tam giác BCD có

\(\dfrac{{CD}}{{\sin \varphi }} = \dfrac{{BD}}{{\sin (C - \varphi )}}\),      (2)

trong tam giác \(ACD\) có

\(\dfrac{{AD}}{{\sin \varphi }} = \dfrac{{CD}}{{\sin (A - \varphi )}}\).

Từ đó ta có

\(\dfrac{{AD.BD.CD}}{{{{\sin }^3}\varphi }}\)

\(= \dfrac{{AD.BD.CD}}{{\sin (A - \varphi )\sin (B - \varphi )\sin (C - \varphi )}}\).

Suy ra đẳng thức cần chứng minh.

b) Áp dụng định lí cosin vào tam giác \(DAB\) ta có

\(B{D^2}\)\( = A{B^2} + A{D^2} - 2.AB.AD.\cos \varphi. \)

Mặt khác, \(\dfrac{1}{2}AB.AD.\sin \varphi  = {S_{ABD}}\) .

Từ đó suy ra \(B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} - 4{S_{ABD}}.\cot \varphi \).

Tương tự ta cũng có \(C{D^2} = B{C^2} + B{D^2} - 4{S_{DBC}}.\cot \varphi  ;\) \(  A{D^2} = A{C^2} + C{D^2} - 4{S_{DCA}}.\cot \varphi. \)

Cộng theo vế rồi biến đổi, chú ý rằng tổng diện tích ba tam giác nhỏ bằng diện tích \(S\) của tam giác \(ABC\), ta được

\(\cot \varphi  = \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{4S}}\) \( = \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{abc}}R.\)

Theo bài 58 chương II, \(\cot A + \cot B + \cot C\) \( = \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{abc}}R.\)

Từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh.

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !

Quảng cáo

list
close
Gửi bài Gửi bài