Bài 88 trang 51 SBT Hình học 10 Nâng caoGiải bài tập Bài 88 trang 51 SBT Hình học 10 Nâng cao Quảng cáo
Đề bài Cho điểm \(D\) nằm trong tam giác \(ABC\) sao cho \(\widehat {DAB} = \widehat {DBC} = \widehat {DCA} = \varphi .\) Chứng minh rằng: a) \({\sin ^3}\varphi = \sin (A - \varphi )\)\(.\sin (B - \varphi ).\sin (C - \varphi ).\) b) \(\cot \varphi = \cot A + \cot B + \cot C.\) Lời giải chi tiết (h.75).
a) Theo định lí sin, trong tam giác \(ABD\) ta có \(\dfrac{{DB}}{{\sin \varphi }} = \dfrac{{AD}}{{\sin (B - \varphi )}}\) , (1) trong tam giác BCD có \(\dfrac{{CD}}{{\sin \varphi }} = \dfrac{{BD}}{{\sin (C - \varphi )}}\), (2) trong tam giác \(ACD\) có \(\dfrac{{AD}}{{\sin \varphi }} = \dfrac{{CD}}{{\sin (A - \varphi )}}\). Từ đó ta có \(\dfrac{{AD.BD.CD}}{{{{\sin }^3}\varphi }}\) \(= \dfrac{{AD.BD.CD}}{{\sin (A - \varphi )\sin (B - \varphi )\sin (C - \varphi )}}\). Suy ra đẳng thức cần chứng minh. b) Áp dụng định lí cosin vào tam giác \(DAB\) ta có \(B{D^2}\)\( = A{B^2} + A{D^2} - 2.AB.AD.\cos \varphi. \) Mặt khác, \(\dfrac{1}{2}AB.AD.\sin \varphi = {S_{ABD}}\) . Từ đó suy ra \(B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} - 4{S_{ABD}}.\cot \varphi \). Tương tự ta cũng có \(C{D^2} = B{C^2} + B{D^2} - 4{S_{DBC}}.\cot \varphi ;\) \( A{D^2} = A{C^2} + C{D^2} - 4{S_{DCA}}.\cot \varphi. \) Cộng theo vế rồi biến đổi, chú ý rằng tổng diện tích ba tam giác nhỏ bằng diện tích \(S\) của tam giác \(ABC\), ta được \(\cot \varphi = \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{4S}}\) \( = \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{abc}}R.\) Theo bài 58 chương II, \(\cot A + \cot B + \cot C\) \( = \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{abc}}R.\) Từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh. Loigiaihay.com
Quảng cáo
|