Bài 88 trang 130 SGK giải tích 12 nâng cao

Đề bài

Gọi c là cạnh huyền, a và b là hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông. Chứng minh rằng: 

${\log _{b + c}}a + {\log _{c - b}}a = 2{\log _{b + c}}a.{\log _{c - b}}a$

Lời giải chi tiết

Ta có: ${\log _{b + c}}a + {\log _{c - b}}a = 2{\log _{b + c}}a.{\log _{c + b}}a$

$\eqalign{ & \Leftrightarrow {1 \over {{{\log }_a}\left( {b + c} \right)}} + {1 \over {{{\log }_a}\left( {c - b} \right)}} = {2 \over {{{\log }_a}\left( {b + c} \right).{{\log }_a}\left( {c - b} \right)}} \cr  & \Leftrightarrow {\log _a}\left( {c - b} \right) + {\log _a}\left( {b + c} \right) = 2 \cr  & \Leftrightarrow {\log _a}[\left( {c - b} \right)\left( {b + c} \right)] = 2 \cr  & \Leftrightarrow {\log _a}\left( {{c^2} - {b^2}} \right) = 2\cr&\Leftrightarrow {c^2} - {b^2} = {a^2} \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = {c^2} \cr}$

Tam giác vuông cạnh huyền c, hai cạnh góc vuông a và b nên ta có ${a^2} + {b^2} = {c^2}$ (luôn đúng)

Từ đó suy ra đpcm.

Loigiaihay.com