Bài 87 trang 130 SGK giải tích 12 nâng cao

Đề bài

Chứng minh rằng ${\log _2}3 > {\log _3}4$

Lời giải chi tiết

Áp dụng BĐT cô si cho hai số dương ta có:

$\eqalign{ & \sqrt {{{\log }_3}2.{{\log }_3}4} < {1 \over 2}\left( {{{\log }_3}2 + {{\log }_3}4} \right) \cr&= {1 \over 2}{\log _3}8 < {1 \over 2}{\log _3}9 = 1 \cr  & \Rightarrow {\log _3}2.{\log _3}4 < 1 \cr}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {\log _3}4 < \frac{1}{{{{\log }_3}2}} = {\log _2}3\\ \Rightarrow {\log _2}3 > {\log _3}4 \end{array}$

Chú ý:

Ta có cách trình bày khác như sau:

Ta có ${\log _2}3 > {\log _3}4$ $\Leftrightarrow {1 \over {{{\log }_3}2}} > {\log _3}4$

$\Leftrightarrow {\log _3}2.{\log _3}4 < 1$ (vì ${\log _3}2 > 0$)

Áp dụng BĐT cô si cho hai số dương ta có:

$\eqalign{ & \sqrt {{{\log }_3}2.{{\log }_3}4} < {1 \over 2}\left( {{{\log }_3}2 + {{\log }_3}4} \right) \cr&= {1 \over 2}{\log _3}8 < {1 \over 2}{\log _3}9 = 1 \cr  & \Rightarrow {\log _3}2.{\log _3}4 < 1\,\,\left( {dpcm} \right) \cr}$

 Loigiaihay.com