Bài 82 trang 116 SBT Hình học 10 Nâng cao

Đề bài

Cho đường tròn \((C)\) có phương trình \({x^2} + {y^2} = 1\). Đường tròn \((C)\) cắt \(Ox\) tại \(A(-1 ; 0)\) và \(B(1 ; 0)\). Đường thẳng \(d\) có phương trình \(x = m ( - 1 < m < 1, m \ne 0)\) cắt \((C)\) tại \(M\) và \(N\). Đường thẳng \(AM\) cắt đường thẳng \(BN\) tại \(K\). Tìm tập hợp các điểm \(K\) khi \(m\) thay đổi.

Lời giải chi tiết

(h.117).

 ÃA

Giả sử \(M = ({x_0} ; {y_0})\), suy ra \(N = ({x_0} ;  - {y_0})\). Do \( - 1 < m < 1,  m \ne 0\) nên \( - 1 < {x_0}, {y_0} < 1, {x_0} \ne 0,  {y_0} \ne 0\). Ta có:

Phương trình đường thẳng \(AM:  \dfrac{{x + 1}}{{{x_0} + 1}} =  \dfrac{y}{{{y_0}}}\)        (1)

Phương trình đường thẳng \(BN:  \dfrac{{x - 1}}{{{x_0} - 1}} =  \dfrac{y}{{ - {y_0}}}\)         (2)

Tọa độ \((x ; y)\) của \(K\) thỏa mãn (1) và (2). Nhân từng vế của (1) và (2) với nhau, ta được : \( \dfrac{{{x^2} - 1}}{{x_0^2 - 1}} =  \dfrac{{{y^2}}}{{ - y_0^2}}\). Vì \(M \in (C)\) nên \(x_0^2 + y_0^2 = 1\), suy ra \(x_0^2 - 1 =  - y_0^2\). Do đó \({x^2} - 1 = {y^2}\) hay \({x^2} - {y^2} = 1\). Tập hợp các điểm \(K\) là hypebol \( \dfrac{{{x^2}}}{1} -  \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1\) bỏ đi hai đỉnh : \((-1 ; 0)\) và \((1 ; 0).\)

Loigiaihay.com