Bài 79 trang 116 SBT Hình học 19 Nâng cao

Giải bài tập Bài 79 trang 116 SBT Hình học 19 Nâng cao

Quảng cáo

Đề bài

Tìm các điểm trên hypebol \((H): 4{x^2} - {y^2} - 4 = 0\) thỏa mãn

a)  Nhìn hai tiêu điểm dưới góc vuông;

b) Nhìn hai tiêu điểm dưới góc \(120^0;\)

c) Có tọa độ nguyên.

 

Lời giải chi tiết

Viết lại phương trình của \((H):  \dfrac{{{x^2}}}{1} -  \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1\).

\({a^2} = 1   \Rightarrow a = 1  , \) \( {b^2} = 4   \Rightarrow   b = 2 ,\) \(  {c^2} = {a^2} + {b^2} = 5   \Rightarrow c = \sqrt 5  ,\) \(  e =  \dfrac{c}{a} = \sqrt 5 \).

\((H)\) có các tiêu điểm : \({F_1}( - \sqrt 5  ; 0) , \) \( {F_2}(\sqrt 5  ; 0)\).

a) Gọi \(M(x ; y)\) là điểm cần tìm. Ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {{F_1}M}  = \left( {x + \sqrt 5  ; y} \right) , \\ \overrightarrow {{F_2}M}  = \left( {x - \sqrt 5  ; y} \right)\\{F_1}M \bot {F_2}M    \Leftrightarrow   \overrightarrow {{F_1}M} .\overrightarrow {{F_2}M}  = 0\\ \Leftrightarrow   \left( {x + \sqrt 5 } \right)\left( {x - \sqrt 5 } \right) + {y^2} = 0  \\  \Leftrightarrow   {x^2} + {y^2} - 5 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\M \in (H)    \Leftrightarrow 4{x^2} - {y^2} - 4 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \end{array}\).

Giải hệ (1) và (2) ta được: \(x =  \pm  \dfrac{3}{{\sqrt 5 }} ,  y =  \pm  \dfrac{4}{{\sqrt 5 }}\).

Vậy bốn điểm cần tìm là : \(\left( { \pm  \dfrac{3}{{\sqrt 5 }} ;  \pm  \dfrac{4}{{\sqrt 5 }}} \right)\).

b) Gọi \(N(x ; y)\) là điểm cần tìm.

\(N \in (H)    \Rightarrow |N{F_1} - N{F_2}| = 2a = 2\).

Trong tam giác \(F_1NF_2\), ta có

\(\begin{array}{l}{F_1}{F_2}^2 = {F_1}{N^2} + {F_2}{N^2}\\ - 2.{F_1}N.{F_2}N.\cos \widehat {{F_1}N{F_2}}\\ = {({F_1}N - {F_2}N)^2} + 2.{F_1}N.{F_2}N\\ - 2{F_1}N.{F_2}N.\cos {120^0}\\= 4 + 3{F_1}N.{F_2}N\\ = 4 + 3.|a + ex|.|a - ex|\\= 4 + 3|{a^2} - {e^2}{x^2}|\\ \Rightarrow 4{c^2} = 4 + 3|1 - 5{x^2}|\\ \Leftrightarrow 4.5 = 4 + 3|1 - 5{x^2}|\\ \Leftrightarrow |1 - 5{x^2}| =  \dfrac{{16}}{3} \\    \Leftrightarrow   {x^2} =  \dfrac{{19}}{{15}}   \Leftrightarrow    x =  \pm \sqrt { \dfrac{{19}}{{15}}} \end{array}\)

Thay \(x =  \pm \sqrt { \dfrac{{19}}{{15}}} \) vào phương trình của (H), ta được \(y =  \pm  \dfrac{4}{{\sqrt {15} }}\).

Vậy có bốn điểm cần tìm là: \(\left( { \pm \sqrt { \dfrac{{19}}{{15}}}  ;  \pm  \dfrac{4}{{\sqrt {15} }}} \right)\).

c) Do \((H)\) nhận \(Ox, Oy\) là các trục đối xứng, nên ta chỉ xét những điểm \((x ; y)\) của \((H)\) mà : \(x. y\) nguyên, \(x \ge 0 ,  y \ge 0\), rồi sau đó ta tìm những điểm đối xứng với những điểm này qua trục \(Ox\) và \(Oy.\)

Ta có

\(4{x^2} - {y^2} - 4 = 0 \)

\(    \Leftrightarrow   (2x - y)(2x + y) = 4\)   (1).

Do \(2x-y,  2x+y\) nguyên, \(2x + y \ge 0\) và \(2x + y \ge 2x - y\), nên từ (1)  ta có các trường hợp :

\(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 1\\2x + y = 4\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)    , \\    \left\{ \begin{array}{l}2x - y = 2\\2x + y = 2\end{array} \right. \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)\)

Hệ (2) không có nghiệm nguyên, hệ (3) có một nghiệm nguyên là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\end{array} \right.\).

Vậy những điểm trên \((H)\) có tọa độ nguyên là : \((1 ; 0), (-1 ; 0).\)

Loigiaihay.com

 

Xem thêm tại đây: Bài 6. Đường hypebol.
Quảng cáo
list
close
Gửi bài Hỏi bài