Bài 81 trang 116 SBT Hình học 10 Nâng cao

LG a

Chứng minh rằng \(\Delta \) luôn cắt \((H)\) tại hai điểm \(M, N\) thuộc hai nhánh khác nhau của \((H) (x_M < x_N);\)

Lời giải chi tiết:

\((H):  \dfrac{{{x^2}}}{4} -  \dfrac{{{y^2}}}{5}\)

\(= 1    \Leftrightarrow   5{x^2} - 4{y^2} - 20 = 0\).

\({a^2} = 4   \Rightarrow   a = 2 , \) \( {b^2} = 5   \Rightarrow   b = \sqrt {5  } ,\) \(  {c^2} = {b^2} + {a^2} = 9   \Rightarrow   c = 3\).

\((H)\) có hai nhánh : nhánh trái ứng với \(x \le  - 2\), nhánh phải ứng với \(x \ge 2\). Hoành độ giao điểm của \((H)\) và \(\Delta \) là nghiệm của phương trình :

\(5{x^2} - 4{(x + m)^2} - 20 = 0\) hay  \({x^2} - 8mx - 4({m^2} + 5) = 0\).        (1)

Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu với mọi \(m\). Do đó \(\Delta \) luôn cắt \((H)\) tại hai điểm \(M\) và \(N\) thuộc hai nhánh khác nhau.

Theo giả thiết \(x_M < x_N\) nên \(M\) thuộc nhánh trái, \(N\) thuộc nhánh phải.

LG b

Gọi \(F_1\) là tiêu điểm trái và \(F_2\) là tiêu điểm phải cả \((H)\). Xác định \(m\) để \(F_2N=2F_1M.\)

Lời giải chi tiết:

\((H)\) có các tiêu điểm \({F_1}( - 3 ; 0) ,  {F_2}(3 ; 0)\).

\(\begin{array}{l}{F_2}N = \left| {a -  \dfrac{c}{a}{x_N}} \right| = \left| {2 -  \dfrac{3}{2}{x_N}} \right| \\=  \dfrac{3}{2}{x_N} - 2   ({x_N} \ge 2)\\{F_1}M = \left| {a +  \dfrac{c}{a}{x_M}} \right| = \left| {2 +  \dfrac{3}{2}{x_M}} \right|\\ =  -  \dfrac{3}{2}{x_M} - 2   ({x_M} \le  - 2)\\{F_2}N = 2{F_1}M \\   \Leftrightarrow   \dfrac{3}{2}{x_N} - 2 = 2\left( { -  \dfrac{3}{2}{x_M} - 2} \right)  \\  \Leftrightarrow   3{x_N} + 6{x_M} + 4 = 0   (2)\end{array}\)

\({x_M}, {x_N}\) là nghiệm của (1) nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} + {x_N} = 8m \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)                  \\{x_M}.{x_N} =  - 4({m^2} + 5)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4)\end{array} \right.\)

Giải (2) và (3) ta được: \({x_M} =  -  \dfrac{4}{3} - 8m ,\) \(  {x_N} =  \dfrac{4}{3} + 16m\). Thay \({x_M}, {x_N}\) vào (4) ta có

\(\begin{array}{l}\left( { -  \dfrac{4}{3} - 8m} \right)\left( { \dfrac{4}{3} + 16m} \right)\\ =  - 4({m^2} + 5)  \\  \Leftrightarrow   279{m^2} + 72m - 41 = 0\\ \Leftrightarrow  m =  \dfrac{{ - 12 \pm \sqrt {1415} }}{{93}} .\end{array}\)

Vậy với \(m =  \dfrac{{ - 12 \pm \sqrt {1415} }}{{93}}\) thì \({F_2}N = 2{F_1}M\).

Loigiaihay.com