Bài 77 trang 155 SGK Đại số 10 nâng caoChứng minh các bất đẳng thức sau: Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
Chứng minh các bất đẳng thức sau: LG a \(a + b + c \ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} \) với a ≥ 0; b ≥ 0; c ≥ 0 Phương pháp giải: Nhân cả 2 vế bđt với 2 và biến đổi tương đương. Lời giải chi tiết: Ta có: \(\eqalign{ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Cách khác: Áp dụng bất đẳng thức Cô- si cho hai số không âm ta có: \(\begin{array}{l}a + b \ge 2\sqrt {ab} \\b + c \ge 2\sqrt {bc} \\c + a \ge 2\sqrt {ca} \end{array}\) Lấy vế cộng vế các bất đẳng thức trên ta được: \(\begin{array}{l}a + b + b + c + c + a \ge 2\sqrt {ab} + 2\sqrt {bc} + 2\sqrt {ca} \\ \Leftrightarrow 2\left( {a + b + c} \right) \ge 2\left( {\sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} } \right)\\ \Leftrightarrow a + b + c \ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} \end{array}\) Suy ra điều phải chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a= b = c . LG b a2b2 + b2c2 + c2a2 ≥ abc(a + b +c) với mọi a,b,c ∈ R Khi nào có đẳng thức? Lời giải chi tiết: Ta có: a2b2 + b2c2 + c2a2 ≥ abc(a + b +c) ⇔ 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 ≥ 2abc(a + b +c) ⇔ (a2b2 – 2a2bc+ a2c2) + (a2c2 – 2c2ab +b2c2) +(a2b2 – 2b2ac +b2c2) ≥ 0 ⇔ (ab – ac)2 + (ac – bc)2 + (ab – bc)2 ≥ 0 (luôn đúng) Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hoặc 2 trong 3 số a, b, c = 0. Cách khác: Với các số thực a, b, c ta luôn có: a2 ≥ 0; b2 ≥ 0; c2 ≥ 0 Do đó a2b2 ≥ 0; b2c2 ≥ 0; c2a2 ≥ 0 Áp dụng bđt Cô – si ta có: \(\begin{array}{l}{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} \ge 2\sqrt {{a^2}{b^2}.{b^2}{c^2}} = 2{b^2}ac\\{b^2}{c^2} + {c^2}{a^2} \ge 2\sqrt {{b^2}{c^2}.{c^2}{a^2}} = 2{c^2}ab\\{c^2}{a^2} + {a^2}{b^2} \ge 2\sqrt {{c^2}{a^2}.{a^2}{b^2}} = 2{a^2}bc\end{array}\) Cộng vế với vế các bđt trên ta được: \(\begin{array}{l}{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2} + {c^2}{a^2} + {a^2}{b^2}\\ \ge 2{b^2}ac + 2{c^2}ab + 2{a^2}bc\\ \Leftrightarrow 2\left( {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} \right)\\ \ge 2abc\left( {a + b + c} \right)\\ \Rightarrow {a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2} \ge abc\left( {a + b + c} \right)\end{array}\) Dấu = xảy ra khi \(a = b = c\) hoặc hai trong ba số bằng 0. Loigiaihay.com
Quảng cáo
|