tuyensinh247

Bài 77 trang 115 SBT Hình học 10 Nâng cao

Giải bài tập Bài 77 trang 115 SBT Hình học 10 Nâng cao

Quảng cáo

Đề bài

Cho hypebol \((H):  \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} -  \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\). Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm tùy ý trên \((H)\) đến hai đường tiệm cận bằng \( \dfrac{{{a^2}{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}\).

Lời giải chi tiết

\((H)\) có hai tiệm cận là \({\Delta _1}: y =  \dfrac{b}{a}x\) hay \(bx - ay = 0\);  \({\Delta _2}: y =  -  \dfrac{b}{a}x\) hay \(bx + ay = 0\).

Xét \(M(x ; y)  \in (H)\) thì \( \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} -  \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), hay \({b^2}{x^2} - {a^2}{y^2} = {a^2}{b^2}\). Khi đó

\(d(M ; {\Delta _1}).d(M ; {\Delta _2}) \)

\(=  \dfrac{{|bx - ay|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}. \dfrac{{|bx + ay|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

\(=  \dfrac{{|{b^2}{x^2} - {a^2}{y^2}|}}{{{a^2} + {b^2}}} \)

\(=  \dfrac{{{a^2}{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}\).

Loigiaihay.com

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close