Bài 67 trang 133 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Tính khoảng cách từ điểm M0

Quảng cáo

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tính khoảng cách từ điểm M₀ tới đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau :

LG a

\(\;{M_0}(2;3;1),d:{{x + 2} \over 1} = {{y - 1} \over 2} = {{z + 1} \over { - 2}}.\)

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng d đi qua điểm M (-2; 1; -1) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u \left( {1{\rm{ }};{\rm{ }}2{\rm{ }};{\rm{ }} - 2} \right).\) Ta có \(\overrightarrow {{M_0}M} {\rm{ }} = \left( { - 4{\rm{ }};{\rm{ }} - 2{\rm{ }};{\rm{ }} - 2} \right)\)

\({\rm{ }}\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {{M_0}M} } \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}\left( { - 8{\rm{ }};{\rm{ }}10{\rm{ }};{\rm{ }}6} \right)\)

\( \Rightarrow d\left( {{M_o},d} \right) = {{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {{M_0}M} } \right]} \right|} \over {\left| {\overrightarrow u } \right|}} = {{\sqrt {{{( - 8)}^2} + {{10}^2} + {6^2}} } \over {\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 2)}^2}} }} \)

\(= {{\sqrt {200} } \over 3} = {{10\sqrt 2 } \over 3}\)

LG b

\(\;{M_0}(2;3; - 1),\) d là giao tuyến của hai mặt phẳng

\(\left( \alpha \right):x + y - 2z - 1 = 0\) và \(\left( {\alpha '} \right):x + 3y + 2z + 2 = 0;\)

Lời giải chi tiết:

Ta xác định được một vectơ chỉ phương của d là \(\overrightarrow u \)= (4 ; -2 ; 1).

Mặt phẳng (\(\alpha \)) đi qua M_o(2 ; 3 ; -1) và vuông góc với d có phương trình

\(4(x - 2) - 2(y - 3) + 1(z+ 1) = 0\)

\(\Leftrightarrow 4x - 2y + z - 1=0.\)

Gọi H là giao điểm của d và (\(\alpha \)). Toạ độ điểm H là nghiệm của hệ :

\(\left\{ \matrix{ 4x - 2y + z - 1 = 0 \hfill \cr x + y - 2z - 1 = 0 \hfill \cr x + 3y + 2z + 2 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow H = \left( {{3 \over {14}}; - {5 \over {14}}; - {8 \over {14}}} \right)\).

Khi đó

\(d({M_o},d) = M_oH \)

\(= \sqrt {{{\left( {2 - {3 \over {14}}} \right)}^2} + {{\left( {3 + {5 \over {14}}} \right)}^2} + {{\left( { - 1 + {8 \over {14}}} \right)}^2}} \)

\( = \sqrt {{{2870} \over {{{14}^2}}}} = \sqrt {{{205} \over {14}}} \)

LG c

\(\eqalign{\;{M_0}(1;2;1),d:{x \over 3} = {{y - 1} \over 4} = {{z + 3} \over 1}\cr} \)

Lời giải chi tiết:

\(d\left( {{M_o},d} \right) = {{\sqrt {9022} } \over {26}}.\)

LG d

\(\eqalign{\;{M_0}(1;0;0),d:{{x - 2} \over 1} = {{y - 1} \over 2} = {z \over 1}. \cr} \)

Lời giải chi tiết:

\(d\left( {{M_o},d} \right) = {{\sqrt 2 } \over 2}.\)