Bài 6.6 trang 9 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh:

a) \({5^{6\sqrt 3 }}\) và \({5^{3\sqrt 6 }}\);

b) \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - \frac{4}{3}}}\) và \(\sqrt 2 {.2^{\frac{2}{3}}}\).

Lời giải chi tiết

a) \({5^{6\sqrt 3 }}\) và \({5^{3\sqrt 6 }}\).             

Ta có \(6\sqrt 3  = 2.3\sqrt 3 \); \(3\sqrt 6  = 3.\sqrt {2.3}  = \sqrt 2 .3\sqrt 3 \) mà \(2 > \sqrt 2  \Rightarrow 6\sqrt 3  > 3\sqrt 6 \).

Do đó \({5^{6\sqrt 3 }} > {5^{3\sqrt 6 }}\).

b) \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - \frac{4}{3}}}\) và \(\sqrt 2 {.2^{\frac{2}{3}}}\).

Ta có \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - \frac{4}{3}}} = {2^{\frac{4}{3}}}\); \(\sqrt 2 {.2^{\frac{2}{3}}} = {2^{\frac{1}{2}}}{.2^{\frac{2}{3}}} = {2^{\frac{1}{2} + \frac{2}{3}}} = {2^{\frac{7}{6}}}\) mà \(\frac{4}{3} = \frac{8}{6} > \frac{7}{6} \Rightarrow {2^{\frac{4}{3}}} > {2^{\frac{7}{6}}}\).

Do đó \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - \frac{4}{3}}} > \sqrt 2 {.2^{\frac{2}{3}}}\).