Bài 6.4 trang 9 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho x, y là các số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau:

a) \(A = \frac{{{x^{\frac{1}{3}}}\sqrt y  + {y^{\frac{1}{3}}}\sqrt x }}{{\sqrt[6]{x} + \sqrt[6]{y}}};\)                            

b) \(B = {\left( {\frac{{{x^{\sqrt 3 }}}}{{{y^{\sqrt 3  - 1}}}}} \right)^{\sqrt 3  + 1}}.\frac{{{x^{ - \sqrt 3  - 1}}}}{{{y^{ - 2}}}}.\)

Lời giải chi tiết

a) \(A = \frac{{{x^{\frac{1}{3}}}\sqrt y  + {y^{\frac{1}{3}}}\sqrt x }}{{\sqrt[6]{x} + \sqrt[6]{y}}} = \frac{{{x^{\frac{1}{3}}}.{y^{\frac{1}{2}}} + {y^{\frac{1}{3}}}.{x^{\frac{1}{2}}}}}{{{x^{\frac{1}{6}}} + {y^{\frac{1}{6}}}}} = \frac{{{x^{\frac{1}{3}}}.{y^{\frac{1}{3}}}\left( {{y^{\frac{1}{6}}} + {x^{\frac{1}{6}}}} \right)}}{{{x^{\frac{1}{6}}} + {y^{\frac{1}{6}}}}} = \sqrt[3]{x}.\sqrt[3]{y} = \sqrt[3]{{xy}}\)                       

b) \(B = {\left( {\frac{{{x^{\sqrt 3 }}}}{{{y^{\sqrt 3  - 1}}}}} \right)^{\sqrt 3  + 1}}.\frac{{{x^{ - \sqrt 3  - 1}}}}{{{y^{ - 2}}}} = \frac{{{x^{\sqrt 3 .\left( {\sqrt 3  + 1} \right)}}}}{{{y^{\left( {\sqrt 3  - 1} \right)\left( {\sqrt 3  + 1} \right)}}}}.\frac{{{x^{ - \sqrt 3  - 1}}}}{{{y^{ - 2}}}} = \frac{{{x^{3 + \sqrt 3 }}}}{{{y^2}}}.\frac{{{x^{ - \left( {\sqrt 3  + 1} \right)}}}}{{{y^{ - 2}}}} = \frac{{{x^{3 + \sqrt 3 }}}}{{{y^2}}}.\frac{{{y^2}}}{{{x^{\sqrt 3  + 1}}}} = \frac{{{x^{3 + \sqrt 3 }}}}{{{x^{\sqrt 3  + 1}}}} = {x^{3 + \sqrt 3  - \sqrt 3  - 1}} = {x^2}\)