Bài 6 trang 86 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật với $AB = 4a,$ $AD = 3a$. Các cạnh bên đều có độ dài $5a$. Góc nhị diện $\left[ {S,BC,A} \right]$ có số đo là

A. ${75^ \circ }46'$.

B. ${71^ \circ }21'$.

C. ${68^ \circ }31'$.

D. ${65^ \circ }12'$.

Lời giải chi tiết

Gọi $O$ là tâm của đáy. Kẻ $OH \bot BC\left( {H \in BC} \right)$.

$\Delta SAC$ cân tại $S$$\Rightarrow SO \bot AC$

$\Delta SB{\rm{D}}$ cân tại $S$$\Rightarrow SO \bot B{\rm{D}}$

$\Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot BC$

Mà $OH \bot BC$

Vậy $\widehat {SHO}$ là góc nhị diện $\left[ {S,BC,A} \right]$.

$\begin{array}{l}{S_{ABC{\rm{D}}}} = AB.A{\rm{D}} = 12{a^2} \Rightarrow {S_{OBC}} = \frac{1}{4}{S_{ABC{\rm{D}}}} = 3{a^2}\\{S_{OBC}} = \frac{1}{2}BC.OH \Rightarrow OH = \frac{{2{{\rm{S}}_{OBC}}}}{{BC}} = 2a\\AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = 5a \Rightarrow OC = \frac{1}{2}AC = \frac{{5a}}{2}\\SO = \sqrt {S{C^2} - O{C^2}}  = \frac{{5a\sqrt 3 }}{2}\\\tan \widehat {SHO} = \frac{{SO}}{{OH}} = \frac{{5\sqrt 3 }}{4} \Rightarrow \widehat {SHO} \approx {65^ \circ }12'\end{array}$

Chọn D.