Bài 6 trang 82 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho hình hộp đứng $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bên $AA' = 2a$ và đáy $ABCD$ là hình thoi có $AB = a$ và $AC = a\sqrt 3$.

a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $B{\rm{D}}$ và $AA'$.

b) Tính thể tích của khối hộp.

Lời giải chi tiết

 

a) Gọi $O = AC \cap B{\rm{D}}$

$ABCD$ là hình thoi $\Rightarrow AC \bot B{\rm{D}} \Rightarrow AO \bot B{\rm{D}}$

$AA' \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow AA' \bot AO$

$\Rightarrow d\left( {B{\rm{D}},AA'} \right) = AO = \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

b) Tam giác $OAB$ vuông tại $O$

$\begin{array}{l} \Rightarrow BO = \sqrt {A{B^2} - A{O^2}}  = \frac{a}{2} \Rightarrow B{\rm{D}} = 2BO = a\\{S_{ABC{\rm{D}}}} = \frac{1}{2}AC.B{\rm{D}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\\{V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC{\rm{D}}}}.AA' = \frac{{3{a^3}}}{4}\end{array}$