Bài 6 trang 79 SGK Đại số 10

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), trên các tia \(Ox, Oy\) lần lượt lấy các điểm \(A\) và \(B\) thay đổi sao cho đường thẳng \(AB\) luôn tiếp xúc với đường tròn tâm \(O\) bán kính \(1\). Xác định tọa độ của \(A\) và \(B\) để đoạn \(AB\) có độ dài nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết

Tam giác AOB vuông tại O có OH là đường cao nên \(HA.HB = O{H^2} = {1^2} = 1\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:

\(AB = AH + HB \ge 2\sqrt {AH.HB}  \) \(= 2\sqrt 1  = 2\)

\(\Rightarrow A{B_{\min }} = 2 \Leftrightarrow HA = HB = 1\)

\(∆OAB\) có OH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên vuông cân: \(OA = OB\) và \(AB = 2\).

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông OAB ta có:

\(\begin{array}{l}
O{A^2} + O{B^2} = A{B^2}\\
\Leftrightarrow O{A^2} + O{A^2} = A{B^2}\\
\Leftrightarrow 2O{A^2} = {2^2}\\
\Leftrightarrow O{A^2} = 2\\
\Leftrightarrow OA = \sqrt 2
\end{array}\)

Mà A nằm trên tia Ox nên \(A(\sqrt 2; 0)\).

Lại có OB=OA nên \(OB = \sqrt 2 \).

Mà B nằm trên tia Oy nên \(B(0; \sqrt2)\).

Vậy \(A(\sqrt 2; 0)\) và \(B(0; \sqrt2)\).

Loigiaihay.com