Bài 6 trang 79 SGK Đại số 10

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, trên các tia $Ox, Oy$ lần lượt lấy các điểm $A$ và $B$ thay đổi sao cho đường thẳng $AB$ luôn tiếp xúc với đường tròn tâm $O$ bán kính $1$. Xác định tọa độ của $A$ và $B$ để đoạn $AB$ có độ dài nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết

Tam giác AOB vuông tại O có OH là đường cao nên $HA.HB = O{H^2} = {1^2} = 1$

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:

$AB = AH + HB \ge 2\sqrt {AH.HB}$ $= 2\sqrt 1  = 2$

$\Rightarrow A{B_{\min }} = 2 \Leftrightarrow HA = HB = 1$

$∆OAB$ có OH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên vuông cân: $OA = OB$ và $AB = 2$.

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông OAB ta có:

$\begin{array}{l} O{A^2} + O{B^2} = A{B^2}\\ \Leftrightarrow O{A^2} + O{A^2} = A{B^2}\\ \Leftrightarrow 2O{A^2} = {2^2}\\ \Leftrightarrow O{A^2} = 2\\ \Leftrightarrow OA = \sqrt 2 \end{array}$

Mà A nằm trên tia Ox nên $A(\sqrt 2; 0)$.

Lại có OB=OA nên $OB = \sqrt 2$.

Mà B nằm trên tia Oy nên $B(0; \sqrt2)$.

Vậy $A(\sqrt 2; 0)$ và $B(0; \sqrt2)$.

Loigiaihay.com