Bài 5 trang 79 SGK Đại số 10

Đề bài

Chứng minh rằng

$x^4- \sqrt {{x^5}} + x - \sqrt x + 1 > 0, ∀x ≥ 0$.

Lời giải chi tiết

$\begin{array}{l} {x^4} - \sqrt {{x^5}} + x - \sqrt x + 1 > 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x } \right)^8} - {\left( {\sqrt x } \right)^5} + {\left( {\sqrt x } \right)^2} - \sqrt x + 1 > 0 \end{array}$

Đặt $\sqrt x = t, x ≥ 0 \Rightarrow t ≥ 0$.

Vế trái trở thành: ${t^8} - {t^5} + {t^2} - t + 1 = f(t)$

+) Nếu $t = 0$, hoặc $t = 1$ thì $f(t) = 1 >0$

+) Với $0 < t <1$,      

$f\left( t \right){\rm{ }} = {t^8} + {\rm{ }}({t^2} - {\rm{ }}{t^5}) + 1{\rm{ }} - {\rm{ }}t$

${t^8} > {\rm{ }}0;1{\rm{ }} - {\rm{ }}t{\rm{ }} > {\rm{ }}0;{t^2} - {\rm{ }}{t^{5}} = {t^2}\left( {1{\rm{ }}-{\rm{ }}t^3} \right){\rm{ }}$$> {\rm{ }}0$.

Suy ra $f(t) > 0$.

+) Với $t > 1$ thì $f\left( t \right){\rm{ }} = {t^5}({t^3}-{\rm{ }}1){\rm{ }} + {\rm{ }}t\left( {t{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} > {\rm{ }}0$

Vậy $f(t) > 0,∀t ≥ 0$.

Hay $x^4- \sqrt {{x^5}} + x - \sqrt x + 1 > 0, ∀x ≥ 0$.

Cách khác:

$\begin{array}{l} 2\left( {{t^8} - {t^5} + {t^2} - t + 1} \right)\\ = {t^8} + {t^8} - 2{t^5} + {t^2} + {t^2} - 2t + 1 + 1\\ = \left( {{t^8} - 2{t^5} + {t^2}} \right) + \left( {{t^2} - 2t + 1} \right) + {t^8} + 1\\ = {\left( {{t^4} - t} \right)^2} + {\left( {t - 1} \right)^2} + {t^8} + 1\\ \ge 0 + 0 + 0 + 1 = 1>0 \end{array}$

(Do ${\left( {{t^4} - t} \right)^2} \ge 0;{\left( {t - 1} \right)^2} \ge 0,{t^8} \ge 0$ )

$\Rightarrow {t^8} - {t^5} + {t^2} - t + 1  > 0$ hay có đpcm.

Loigiaihay.com