Bài 4 trang 79 SGK Đại số 10

Đề bài

 Chứng minh rằng: 

${x^3} + {\rm{ }}{y^3} \ge {\rm{ }}{x^2}y{\rm{ }} + {\rm{ }}x{y^2}$, $∀x ≥ 0, ∀y ≥ 0$.

Lời giải chi tiết

Ta có: $(x - y)^2\ge 0\Leftrightarrow {x^2} + {\rm{ }}{y^2}-{\rm{ }}2xy{\rm{ }} \ge {\rm{ }}0$

$\Leftrightarrow {x^2} + {\rm{ }}{y^2}-{\rm{ }}xy{\rm{ }} \ge xy$

Do $x ≥ 0, y ≥ 0$ $\Rightarrow x + y ≥ 0$

Ta có

$\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}y} \right)({x^2} + {\rm{ }}{y^2}-{\rm{ }}xy){\rm{ }} \ge \left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}y} \right)xy$

$\Leftrightarrow {x^3} + {\rm{ }}{y^3} \ge {\rm{ }}{x^2}y{\rm{ }} + {\rm{ }}x{y^2}$

Cách khác:

$\begin{array}{l} {x^3} + {y^3} \ge {x^2}y + x{y^2}\\ \Leftrightarrow \left( {{x^3} - {x^2}y} \right) - \left( {x{y^2} - {y^3}} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {x^2}\left( {x - y} \right) - {y^2}\left( {x - y} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} - {y^2}} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2}\left( {x + y} \right) \ge 0\,\left( {dung} \right) \end{array}$

(Do ${\left( {x - y} \right)^2} \ge 0$ và $x,y \ge 0 \Rightarrow x + y \ge 0$

Dấu "=" xảy ra khi ${\left( {x - y} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = y$

Loigiaihay.com