Bài 3 trang 79 SGK Đại số 10

LG a

Chứng minh $(b-c)^2< a^2$;

Phương pháp giải:

Ta biết trong một tam giác thì một cạnh luôn nhỏ hơn tổng hai cạnh kia: $a + b > c$

Lời giải chi tiết:

Ta có: ${\left( {b - c} \right)^2} - {a^2} = \left( {b - c - a} \right)\left( {b - c + a} \right)$

Do $b < a + c \Rightarrow b - a - c < 0$ và $b + a > c \Rightarrow b + a - c > 0$

Suy ra $\left( {b - c - a} \right)\left( {b + a - c} \right) < 0$ hay ${\left( {b - c} \right)^2} - {a^2} < 0 \Leftrightarrow {\left( {b - c} \right)^2} < {a^2}$ (điều phải chứng minh).

LG b

Từ đó suy ra $a^2+ b^2+ c^2< 2(ab + bc +ca)$.

Lời giải chi tiết:

Từ kết quả câu a), ta có:

$\begin{array}{l} {a^2} > {\left( {b - c} \right)^2}\\ {b^2} > {\left( {a - c} \right)^2}\\ {c^2} > {\left( {a - b} \right)^2} \end{array}$

${a^2} + {\rm{ }}{b^2} + {\rm{ }}{c^2} > {\rm{ }}{\left( {b - c} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {a{\rm{ }}-{\rm{ }}c} \right)^2}$$+ {\rm{ }}{\left( {a{\rm{ }} - {\rm{ }}b} \right)^2}$

$\Leftrightarrow {a^2} + {\rm{ }}{b^2} + {\rm{ }}{c^2} > {\rm{ }}{b^2} + {\rm{ }}{c^2}-{\rm{ }}2bc{\rm{ }} + {\rm{ }}{a^2}$$+ {\rm{ }}{c^2}-{\rm{ }}2ac{\rm{ }} + {\rm{ }}{a^2} + {\rm{ }}{b^2}-{\rm{ }}2ab$

$\Leftrightarrow 2ab + 2bc + 2ca > {a^2} + {b^2} + {c^2}$

 $\Leftrightarrow 2\left( {ab{\rm{ }} + {\rm{ }}bc{\rm{ }} + {\rm{ }}ac} \right){\rm{ }} > {a^2} + {\rm{ }}{b^2} + {\rm{ }}{c^2}$

hay: $a^2+ b^2+ c^2< 2(ab + bc +ca)$ (điều phải chứng minh).

Loigiaihay.com