Bài 6 trang 175 Tài liệu dạy – học Toán 7 tập 1

Đề bài

Cho tam giác DEF cân tại D. Gọi I là trung điểm của EF.

a) Chứng minh rằng $\Delta DIE = \Delta DIF.$

b) Kẻ $IM \bot DE(M \in DE),IN \bot DF(N \in DF).$  Chứng minh rằng $\Delta IMN$ cân.

c) Chứng minh rằng MN // EF.

d) Chứng minh rằng

$2I{N^2} = D{F^2} - D{N^2} - N{F^2}.$

Lời giải chi tiết

a)Xét tam giác DIE và DIF ta có:

DI là cạnh chung

IE = IF (I là trung điểm của EF)

DE = DF (tam giác DEF cân tại D)

Do đó: $\Delta DIE = \Delta DIF(c.g.c).$

b) Xét tam giác MDI vuông tại M và tam giác NDI vuông tại N có:

DI là cạnh chung.

$\widehat {MDI} = \widehat {NDI}(\Delta DIE = \Delta DIF)$

Do đó:   (cạnh huyền - góc nhọn) => IM = IN.

Vậy tam giác IMN cân tại I.

c) Ta có: $DM = DN(\Delta MDI = \Delta NDI) \Rightarrow \Delta DMN$  cân tại D $\Rightarrow \widehat {DMN} = \widehat {DNM}$

Mà $\widehat {DMN} + \widehat {DNM} + \widehat {MDN} = {180^0}$   (tổng ba góc trong một tam giác)

Do đó: $\widehat {DMN} = {{{{180}^0} - \widehat {MDN}} \over 2}(1)$

Ta có: $\widehat {DEF} = \widehat {DFE}(\Delta DEF$  cân tại D)

Mà $\widehat {DEF} + \widehat {DFE} + \widehat {EDF} = {180^0}$   (tổng ba góc trong một tam giác)

Do đó: $\widehat {DEF} = {{{{180}^0} - \widehat {EDF}} \over 2} = {{{{180}^0} - \widehat {MDN}} \over 2}(2)$

Tà (1) và (2) suy ra: $\widehat {DMN} = \widehat {DEF}$

Mà hai góc DMN và DEF đồng vị. Do đó: MN // EF.

d) Ta có: $\widehat {DIE} = \widehat {DIF}(\Delta DIE = \Delta DIF)$

Mà $\widehat {DIE} + \widehat {DIF} = {180^0}$   (kề bù). Do đó: $\widehat {DIF} + \widehat {DIF} = {180^0} \Rightarrow 2\widehat {DIF} = {180^0} \Rightarrow \widehat {DIF} = {90^0}$

Tam giác IDF vuông tại I$\Rightarrow I{D^2} + I{F^2} = D{F^2}$    (định lí Pythagore)

Tam giác NDI vuông tại N $\Rightarrow I{N^2} + D{N^2} = I{D^2} \Rightarrow I{N^2} = I{D^2} - D{N^2}$   (định lí Pythagore)

Tam giác NIF vuông tại N  $I{N^2} + N{F^2} = I{F^2} \Rightarrow I{N^2} = I{F^2} - N{F^2}$  (định lí Pythagore)

Do đó: $2N{I^2} = I{D^2} - D{N^2} + I{F^2} - N{F^2} = (I{D^2} + I{F^2}) - D{N^2} - N{F^2} = D{F^2} - D{N^2} - N{F^2}$

Loigiaihay.com