Bài 6 trang 169 SGK Đại số và Giải tích 11

Chứng minh rằng các hàm số sau

Quảng cáo

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Chứng minh rằng các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc \(x\):

LG a

\(\sin^6x + \cos^6x + 3\sin^2x.\cos^2x\)

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm của các hàm số đã cho và rút gọn.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
y' = \left( {{{\sin }^6}x} \right)' + \left( {{{\cos }^6}x} \right)' + \left( {3{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x} \right)'\\
= 6{\sin ^5}x\left( {\sin x} \right)' + 6{\cos ^5}x\left( {\cos x} \right)'\\
+ 3.\left[ {\left( {{{\sin }^2}x} \right)'{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x\left( {{{\cos }^2}x} \right)'} \right]\\
= 6{\sin ^5}x\cos x + 6{\cos ^5}x\left( { - \sin x} \right)\\
+ 3\left[ {2\sin x\cos x{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x.2\cos x\left( { - \sin x} \right)} \right]\\
= 6{\sin ^5}x\cos x - 6{\cos ^5}x\sin x\\
+ 6\sin x{\cos ^3}x - 6\cos x{\sin ^3}x\\
= \left( {6{{\sin }^5}x\cos x - 6\cos x{{\sin }^3}x} \right)\\
+ 6\sin x{\cos ^3}x - 6{\cos ^5}x\sin x\\
= 6{\sin ^3}x\cos x\left( {{{\sin }^2}x - 1} \right)\\
+ 6\sin x{\cos ^3}x\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)\\
= 6{\sin ^3}x\cos x.\left( { - {{\cos }^2}x} \right)\\
+ 6\sin x{\cos ^3}x{\sin ^2}x\\
= - 6{\sin ^3}x{\cos ^3}x + 6{\sin ^3}x{\cos ^3}x\\
= 0\\
\Rightarrow y' = 0,\forall x
\end{array}\)

Vậy \(y' = 0\) với mọi \(x\), tức là \(y'\) không phụ thuộc vào \(x\).

Cách khác:

\(\begin{array}{l}
{\sin ^6}x + {\cos ^6}x\\
= {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^3} + {\left( {{{\cos }^2}x} \right)^3}\\
= {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^3} - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\\
= {1^3} - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x.1\\
= 1 - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\\
\Rightarrow y = {\sin ^6}x + {\cos ^6}x + 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x = 1\\
\Rightarrow y' = \left( 1 \right)' = 0
\end{array}\)

LG b

\({\cos ^2}\left ( \dfrac{\pi }{3}-x \right )+ {\cos ^2} \left ( \dfrac{\pi }{3}+x \right ) +  {\cos ^2}\left ( \dfrac{2\pi }{3}-x \right )\) \(+{\cos ^2}  \left ( \dfrac{2\pi }{3}+x \right )-2\sin^2x\)

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức biến đổi tổng thành tích: \(\sin x - \sin y = 2\cos \dfrac{{x + y}}{2}\sin \dfrac{{x - y}}{2}\)

Lời giải chi tiết:

\(y = {{1 + \cos \left( {{{2\pi } \over 3} - 2x} \right)} \over 2} + {{1 + \cos \left( {{{2\pi } \over 3} + 2x} \right)} \over 2} + {{1 + \cos \left( {{{4\pi } \over 3} - 2x} \right)} \over 2} \)

\(+ {{1 + \cos \left( {{{4\pi } \over 3} + 2x} \right)} \over 2} - 2{\sin ^2}x\)

\( = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\cos \left( {\dfrac{{2\pi }}{3} - 2x} \right)\) \( + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\cos \left( {\dfrac{{2\pi }}{3} + 2x} \right)\) \( + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\cos \left( {\dfrac{{4\pi }}{3} - 2x} \right)\) \( + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\cos \left( {\dfrac{{4\pi }}{3} + 2x} \right)\) \( - 2.\dfrac{{1 - \cos 2x}}{2}\)

\( = 1 + \dfrac{1}{2}\cos \left( {\dfrac{{2\pi }}{3} - 2x} \right)\) \( + \dfrac{1}{2}\cos \left( {\dfrac{{2\pi }}{3} + 2x} \right)\) \( + \dfrac{1}{2}\cos \left( {\dfrac{{4\pi }}{3} - 2x} \right)\) \( + \dfrac{1}{2}\cos \left( {\dfrac{{4\pi }}{3} + 2x} \right)\) \( + \cos 2x\)

Do đó \(y' = \dfrac{1}{2}.\left( { - 2} \right).\left[ { - \sin \left( {\dfrac{{2\pi }}{3} - 2x} \right)} \right]\) \( + \dfrac{1}{2}.2.\left[ { - \sin \left( {\dfrac{{2\pi }}{3} + 2x} \right)} \right]\) \( + \dfrac{1}{2}.\left( { - 2} \right).\left[ { - \sin \left( {\dfrac{{4\pi }}{3} - 2x} \right)} \right]\) \( + \dfrac{1}{2}.2.\left[ { - \sin \left( {\dfrac{{4\pi }}{3} + 2x} \right)} \right]\) \( - 2\sin 2x\)

\(=\sin \left ( \dfrac{2\pi }{3}-2x \right ) - \sin \left ( \dfrac{2\pi }{3}+2x \right )+ \sin \left ( \dfrac{4\pi }{3}-2x \right )\) \(- \sin \left ( \dfrac{4\pi }{3}+2x \right )- 2\sin 2x \)

\(= 2\cos \dfrac{2\pi }{3}.\sin(-2x) + 2\cos \dfrac{4\pi }{3}. \sin (-2x) - 2\sin 2x \)

\(= \sin 2x + \sin 2x - 2\sin 2x = 0\),

(Vì \(\cos \dfrac{2\pi }{3}\) = \(\cos \dfrac{4\pi }{3}\) = \( -\dfrac{1}{2}\).)

Vậy \(y' = 0\) với mọi \(x\), do đó \(y'\) không phụ thuộc vào \(x\).

Cách khác:

\(\begin{array}{l}
y= 1 + \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\dfrac{{2\pi }}{3} - 2x} \right) + \cos \left( {\dfrac{{4\pi }}{3} - 2x} \right)} \right]\\
+ \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\dfrac{{2\pi }}{3} + 2x} \right) + \cos \left( {\dfrac{{4\pi }}{3} + 2x} \right)} \right] + \cos 2x\\
= 1 + \dfrac{1}{2}.2\cos \left( {\pi - 2x} \right)\cos \dfrac{\pi }{3}\\
+ \dfrac{1}{2}.2\cos \left( {\pi + 2x} \right)\cos \dfrac{\pi }{3} + \cos 2x\\
= 1 - \cos 2x.\dfrac{1}{2} - \cos 2x.\dfrac{1}{2} + \cos 2x\\
= 1 - \cos 2x + \cos 2x = 1\\
\Rightarrow y = 1,\forall x\\
\Rightarrow y' = 0,\forall x
\end{array}\)

Loigiaihay.com

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close