Bài 6 trang 128 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 1

Đề bài

Cho đường tròn tâm O, hai dây MN = PQ và hai đường thẳng MN, PQ cắt nhau tại A ở ngoài đường tròn (N nằm giữa M và A, Q nằm giữa P và A). Chứng minh AM = AP và AN = AQ.

Lời giải chi tiết

 

Kẻ \(OE \bot MN,\,\,OF \bot PQ\).

Do \(MN = PQ\,\,\left( {gt} \right) \) \(\Rightarrow OE = OF\) (trong một đường tròn, hai dây bằng nhau thì cách đều tâm).

Xét tam giác vuông OAE và OAF có :

\(\begin{array}{l}OE = OF\,\,\left( {cmt} \right)\\OA\,\,chung\end{array}\)

\( \Rightarrow {\Delta _v}OAE = {\Delta _v}OAF\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

\( \Rightarrow AE = AF\) (1) (2 cạnh tương ứng).

Ta có \(OE \bot MN;\,\,OF \bot PQ \Rightarrow \) E, F lần lượt là trung điểm của MN và PQ (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung) \( \Rightarrow EM = EN,\,\,FP = FQ\) (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AE - EN = AF - FQ\\AE + EN = AF + FQ\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}AN = AQ\\AM = AP\end{array} \right.\).

 Loigiaihay.com