Bài 6 trang 114 SGK Hình học 11

Đề bài

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là một hình thoi cạnh $a$ và có $SA = SB = SC = a$. Chứng minh rằng:

a) Mặt phẳng $(ABCD)$ vuông góc với mặt phẳng $(SBD)$;

b) Tam giác $SBD$ là tam giác vuông.

Lời giải chi tiết

a) Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$

Theo tính chất của hình thoi thì $O$ là trung điểm của $AC,BD$

Xét tam giác cân $SAC$ cân tại $S$ ta có:

$SO$ vừa là đường trung tuyến đồng thời là đường cao do đó $SO \, \bot  \, AC$ (1)

Mặt khác $ABCD$ là hình thoi nên $AC \, \bot  \, BD$  (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AC\, \bot  \, (SBD)$

$AC\subset (ABCD)\Rightarrow (ABCD) \, \bot  \, (SBD)$

b) $∆SAC = ∆BAC  (c.c.c)$

Do đó các đường trung tuyến ứng với các đỉnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau: $SO = BO$

$O$ là trung điểm của $BD$ nên $OB=OD$

$\Rightarrow SO = BO = \dfrac{1}{2}BD$

Tam giác $SBD$ có trung tuyển $SO  = \dfrac{1}{2}BD$ nên vuông tại $S$. (đpcm)

Cách khác:

Tam giác $SOC$ vuông tại $O$ nên theo Pi-ta-go ta có:

$S{O^2} = S{C^2} - O{C^2} = {a^2} - O{C^2}$

Tam giác $BOC$ vuông tại $O$ nên theo Pi-ta-go ta có:

$B{O^2} = B{C^2} - O{C^2} = {a^2} - O{C^2}$

$\Rightarrow SO = BO = \dfrac{1}{2}BD$

Tam giác $SBD$ có trung tuyển $SO  = \dfrac{1}{2}BD$ nên vuông tại $S$. (đpcm)

Loigiaihay.com