Bài 55 trang 14 SBT Hình học 10 Nâng cao

LG a

Chứng tỏ rằng \(G\) cũng là trọng tâm tam giác \(MNC\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(I\) là trung điểm \(MN\) thì \(I\) cũng là trung điểm \(AB\), do đó

\(\overrightarrow {GM}  + \overrightarrow {GN}  = 2\overrightarrow {GI} = \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB} \)

Suy ra

\(\overrightarrow {GM}  + \overrightarrow {GN}  + \overrightarrow {GC} \)

\(= \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \).

Vậy \(G\) cũng là trọng tâm của tam giác \(MNC.\)

LG b

Đặt \(\overrightarrow {GA}  = \overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow {GB}  = \overrightarrow b \). Hãy biểu thị các vec tơ sau đây qua \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \): \(\overrightarrow {GC} ,\,\overrightarrow {AC} ,\,\overrightarrow {GM} ,\,\overrightarrow {CN} \).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \\
\Rightarrow \overrightarrow {GC} = - \overrightarrow {GA} - \overrightarrow {GB} \\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - \overrightarrow a - \overrightarrow b \\
\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {GC} - \overrightarrow {GA} \\
\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - \overrightarrow a - \overrightarrow b - \overrightarrow a \\
\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - 2\overrightarrow a - \overrightarrow b
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {GM}  = \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {AM}  \\ = \overrightarrow {GA}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \\ = \overrightarrow {GA}  + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {GB}  - \overrightarrow {GA} } \right)\\= \overrightarrow a  + \dfrac{1}{3}(\overrightarrow b  - \overrightarrow a ) \\= \dfrac{{2\overrightarrow a  + \overrightarrow b }}{3}.\\\overrightarrow {CN}  = \overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {AN} \\ =  - \overrightarrow {AC}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AB}  \\=  - \overrightarrow {AC}  + \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {GB}  - \overrightarrow {GA} } \right)\\ = 2\overrightarrow a  + \overrightarrow b  + \dfrac{2}{3}(\overrightarrow b  - \overrightarrow a )\\ = \dfrac{{4\overrightarrow a  + 5\overrightarrow b }}{3}.\end{array}\)

Loigiaihay.com