Bài 53 trang 12 SBT Hình học 12 Nâng cao

LG a

\({{{V_{M.BCS}}} \over {{V_{S.ABC}}}} = {{MA'} \over {SA}};\)

Lời giải chi tiết:

Gọi N là giao điểm của MA và BC. Khi đó S, A’, N thẳng hàng vì chúng cùng nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {SA,A'M} \right)\).

Gọi MM₁ và AA₁ là các đường vuông góc hạ từ M và A xuống \(mp\left( {SBC} \right)\) thì :

\({{M{M_1}} \over {A{A_1}}} = {{MN} \over {AN}} = {{MA'} \over {SA}}.\)

Vậy \({{{V_{M.BCS}}} \over {{V_{S.ABC}}}} = {{{V_{M.BCS}}} \over {{V_{A.BCS}}}} = {{{1 \over 3}{S_{BCS}}.M{M_1}} \over {{1 \over 3}{S_{BCS}}A{A_1}}} = {{M{M_1}} \over {A{A_1}}} = {{MA'} \over {SA}}\)

LG b

\({{MA'} \over {SA}} + {{MB'} \over {SB}} + {{MC'} \over {SC}}\) không đổi. Tìm tổng đó.

Lời giải chi tiết:

Chứng minh tương tự như câu a), ta có :

\({{{V_{M.CAS}}} \over {{V_{S.ABC}}}} = {{MB'} \over {SB}},{{{V_{M.ABS}}} \over {{V_{S.ABC}}}} = {{MC'} \over {SC}}.\)

Vậy :

\({{MA'} \over {SA}} + {{MB'} \over {SB}} + {{MC'} \over {SC}} = {{{V_{M.BCS}} + {V_{M.CAS}} + {V_{M.ABS}}} \over {{V_{S.ABC}}}} \)

\(= {{{V_{S.ABC}}} \over {{V_{S.ABC}}}} = 1.\)

Loigiaihay.com