Bài 49 trang 11 SBT Hình học 12 Nâng caoGiải bài 49 trang 11 sách bài tập Hình học 12 Nâng cao. Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ ... Quảng cáo
Đề bài Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi K là trung điểm của DD’. Tính khoảng cách giữa CK và A’D. Lời giải chi tiết Gọi M là trung điểm của BB’. Ta có \(A'M//KC\) nên \(\eqalign{ & d\left( {CK,A'D} \right) = d\left( {CK,\left( {A'MD} \right)} \right) \cr & = d\left( {K,\left( {A'MD} \right)} \right). \cr} \) Đặt \(d\left( {CK,A'D} \right) = x.\) Ta có \({V_{A'.MDK}} = {V_{K.A'MD}} = {1 \over 3}{S_{A'MD}}.x\;\;\;(1)\) Mặt khác \({V_{A'.MDK}} = {V_{M.A'DK}}\) \( = {1 \over 3}{S_{A'DK}}.d\left( {M,\left( {A'DK} \right)} \right)\) \(= {1 \over 3}\left( {{1 \over 2}a.{1 \over 2}a} \right).a = {{{a^3}} \over {12}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)\) Từ (1) và (2) suy ra : \({S_{A'MD}}.x = {{{a^3}} \over 4}.\) Hạ \(\eqalign{ & DI \bot A'M \Rightarrow AI \bot A'M \cr & \Rightarrow AI.A'M = AA'.d\left( {M,AA'} \right) = {a^2} \cr&\Rightarrow AI = {{2a} \over {\sqrt 5 }} \cr & \Rightarrow D{I^2} = D{A^2} + A{I^2} = {a^2} + {{4{a^2}} \over 5} = {{9{a^2}} \over 5}\cr& \Rightarrow DI = {{3a} \over {\sqrt 5 }}. \cr} \) Vậy \({S_{A'MD}} = {1 \over 2}DI.A'M = {1 \over 2}.{{3a} \over {\sqrt 5 }}.{{a\sqrt 5 } \over 2} = {{3{a^2}} \over 4}.\) Từ (3) và (4) suy ra \(x = {a \over 3}.\) Loigiaihay.com
Quảng cáo
|