Bài 49 trang 11 SBT Hình học 12 Nâng cao

Giải bài 49 trang 11 sách bài tập Hình học 12 Nâng cao. Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ ...

Quảng cáo

Đề bài

Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi K là trung điểm của DD’. Tính khoảng cách giữa CK và A’D.

Lời giải chi tiết

Gọi là trung điểm của BB’.

Ta có \(A'M//KC\) nên

\(\eqalign{  & d\left( {CK,A'D} \right) = d\left( {CK,\left( {A'MD} \right)} \right)  \cr  &  = d\left( {K,\left( {A'MD} \right)} \right). \cr} \)

Đặt \(d\left( {CK,A'D} \right) = x.\) Ta có

\({V_{A'.MDK}} = {V_{K.A'MD}} = {1 \over 3}{S_{A'MD}}.x\;\;\;(1)\)

Mặt khác

\({V_{A'.MDK}} = {V_{M.A'DK}}\)

\( = {1 \over 3}{S_{A'DK}}.d\left( {M,\left( {A'DK} \right)} \right)\)

\(= {1 \over 3}\left( {{1 \over 2}a.{1 \over 2}a} \right).a = {{{a^3}} \over {12}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)\)

Từ (1) và (2) suy ra : \({S_{A'MD}}.x = {{{a^3}} \over 4}.\)

Hạ

\(\eqalign{  & DI \bot A'M \Rightarrow AI \bot A'M  \cr  &  \Rightarrow AI.A'M = AA'.d\left( {M,AA'} \right) = {a^2} \cr&\Rightarrow AI = {{2a} \over {\sqrt 5 }}  \cr  &  \Rightarrow D{I^2} = D{A^2} + A{I^2} = {a^2} + {{4{a^2}} \over 5} = {{9{a^2}} \over 5}\cr& \Rightarrow DI = {{3a} \over {\sqrt 5 }}.  \cr} \)

Vậy \({S_{A'MD}} = {1 \over 2}DI.A'M = {1 \over 2}.{{3a} \over {\sqrt 5 }}.{{a\sqrt 5 } \over 2} = {{3{a^2}} \over 4}.\)

Từ (3) và (4) suy ra \(x = {a \over 3}.\)

Loigiaihay.com

Quảng cáo

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

close