Bài 5.26 trang 124 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thứcTìm giới hạn của các dãy số sau: a) ({u_n} = frac{{{n^2}}}{{3{n^2} + 7n - 2}}); b) ({v_n} = mathop sum limits_{k = 0}^n frac{{{3^k} + {5^k}}}{{{6^k}}}); c) ({w_n} = frac{{sin n}}{{4n}}) Quảng cáo
Đề bài Tìm giới hạn của các dãy số sau: a) \({u_n} = \frac{{{n^2}}}{{3{n^2} + 7n - 2}}\); b) \({v_n} = \mathop \sum \limits_{k = 0}^n \frac{{{3^k} + {5^k}}}{{{6^k}}}\); c) \({w_n} = \frac{{\sin n}}{{4n}}\) Video hướng dẫn giải Phương pháp giải - Xem chi tiết Để tính giới hạn của dãy số dạng phân thức, ta chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của n, rồi áp dụng quy tắc tính giới hạn Lời giải chi tiết a) \(\lim {u_n} = \lim \frac{{{n^2}}}{{3{n^2} + 7n - 2}} = \lim \left( {\frac{1}{{3 + \frac{7}{n} - \frac{2}{{{n^2}}}}}} \right) = \frac{1}{3}\) b, \(\begin{array}{l}{v_n} = \mathop \sum \limits_{k = 0}^n \frac{{{3^k} + {5^k}}}{{{6^k}}} = \frac{{{3^0} + {5^0}}}{{{6^0}}} + \frac{{{3^1} + {5^1}}}{{{6^1}}} + ... + \frac{{{3^n} + {5^n}}}{{{6^n}}}\\ = \frac{{{3^0}}}{{{6^0}}} + \frac{{{5^0}}}{{{6^0}}} + \frac{{{3^1}}}{{{6^1}}} + \frac{{{5^1}}}{{{6^1}}} + ... + \frac{{{3^n}}}{{{6^n}}} + \frac{{{5^n}}}{{{6^n}}}\\ = \left[ {\left( {\frac{{{3^0}}}{{{6^0}}} + \frac{{{3^1}}}{{{6^1}}} + ... + \frac{{{3^n}}}{{{6^n}}}} \right)} \right] + \left[ {\left( {\frac{{{5^0}}}{{{6^0}}} + \frac{{{5^1}}}{{{6^1}}} + ... + \frac{{{5^n}}}{{{6^n}}}} \right)} \right]\end{array}\) Vì \(\frac{{{3^0}}}{{{6^0}}};\frac{{{3^1}}}{{{6^1}}};...;\frac{{{3^n}}}{{{6^n}}}\) là cấp số nhân có \(\left( {n + 1} \right)\) số hạng với \({u_1} = \frac{{{3^0}}}{{{6^0}}} = 1,\,q = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\). Do đó: \(\frac{{{3^0}}}{{{6^0}}} + \frac{{{3^1}}}{{{6^1}}} + ... + \frac{{{3^n}}}{{{6^n}}} = 1.\frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{n + 1}}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 2 - 2.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n + 1}} = 2 - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}\) Vì \(\frac{{{5^0}}}{{{6^0}}};\frac{{{5^1}}}{{{6^1}}};...;\frac{{{5^n}}}{{{6^n}}}\) là cấp số nhân có \(\left( {n + 1} \right)\) số hạng với \({u_1} = \frac{{{5^0}}}{{{6^0}}} = 1,\,q = \frac{5}{6}\). Do đó: \(\frac{{{5^0}}}{{{6^0}}} + \frac{{{5^1}}}{{{6^1}}} + ... + \frac{{{5^n}}}{{{6^n}}} = 1.\frac{{1 - {{\left( {\frac{5}{6}} \right)}^{n + 1}}}}{{1 - \frac{5}{6}}} = 6 - 6.{\left( {\frac{5}{6}} \right)^{n + 1}} = 6 - 5.{\left( {\frac{5}{6}} \right)^n}\) Vậy \({v_n} = 2 - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} + 6 - 5.{\left( {\frac{5}{6}} \right)^n} = 8 - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} - 5.{\left( {\frac{5}{6}} \right)^n}\) Do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {8 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n} - 5.{{\left( {\frac{5}{6}} \right)}^n}} \right] = 8\). c, Ta có: \(0 \le \left| {\sin n} \right| \le 1 \Leftrightarrow 0 \le \left| {\frac{{\sin n}}{{4n}}} \right| \le \frac{1}{{4n}}\) Mà \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{4n}} = 0\) nên theo nguyên lý kẹp \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left| {\frac{{\sin n}}{{4n}}} \right| = 0\)
Quảng cáo
|