Bài 5.26 trang 124 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Tìm giới hạn của các dãy số sau: a) ({u_n} = frac{{{n^2}}}{{3{n^2} + 7n - 2}}); b) ({v_n} = mathop sum limits_{k = 0}^n frac{{{3^k} + {5^k}}}{{{6^k}}}); c) ({w_n} = frac{{sin n}}{{4n}})

Quảng cáo

Đề bài

Tìm giới hạn của các dãy số sau:

a) \({u_n} = \frac{{{n^2}}}{{3{n^2} + 7n - 2}}\);                 

b) \({v_n} = \mathop \sum \limits_{k = 0}^n \frac{{{3^k} + {5^k}}}{{{6^k}}}\);            

c) \({w_n} = \frac{{\sin n}}{{4n}}\)

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Để tính giới hạn của dãy số dạng phân thức, ta chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của n, rồi áp dụng quy tắc tính giới hạn

Lời giải chi tiết

a) \(\lim {u_n} = \lim \frac{{{n^2}}}{{3{n^2} + 7n - 2}} = \lim \left( {\frac{1}{{3 + \frac{7}{n} - \frac{2}{{{n^2}}}}}} \right) = \frac{1}{3}\)

b,

\(\begin{array}{l}{v_n} = \mathop \sum \limits_{k = 0}^n \frac{{{3^k} + {5^k}}}{{{6^k}}} = \frac{{{3^0} + {5^0}}}{{{6^0}}} + \frac{{{3^1} + {5^1}}}{{{6^1}}} + ... + \frac{{{3^n} + {5^n}}}{{{6^n}}}\\ = \frac{{{3^0}}}{{{6^0}}} + \frac{{{5^0}}}{{{6^0}}} + \frac{{{3^1}}}{{{6^1}}} + \frac{{{5^1}}}{{{6^1}}} + ... + \frac{{{3^n}}}{{{6^n}}} + \frac{{{5^n}}}{{{6^n}}}\\ = \left[ {\left( {\frac{{{3^0}}}{{{6^0}}} + \frac{{{3^1}}}{{{6^1}}} + ... + \frac{{{3^n}}}{{{6^n}}}} \right)} \right] + \left[ {\left( {\frac{{{5^0}}}{{{6^0}}} + \frac{{{5^1}}}{{{6^1}}} + ... + \frac{{{5^n}}}{{{6^n}}}} \right)} \right]\end{array}\)

Vì \(\frac{{{3^0}}}{{{6^0}}};\frac{{{3^1}}}{{{6^1}}};...;\frac{{{3^n}}}{{{6^n}}}\) là cấp số nhân có \(\left( {n + 1} \right)\) số hạng  với \({u_1} = \frac{{{3^0}}}{{{6^0}}} = 1,\,q = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\). Do đó:

\(\frac{{{3^0}}}{{{6^0}}} + \frac{{{3^1}}}{{{6^1}}} + ... + \frac{{{3^n}}}{{{6^n}}} = 1.\frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{n + 1}}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 2 - 2.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n + 1}} = 2 - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}\)

Vì \(\frac{{{5^0}}}{{{6^0}}};\frac{{{5^1}}}{{{6^1}}};...;\frac{{{5^n}}}{{{6^n}}}\) là cấp số nhân có \(\left( {n + 1} \right)\) số hạng  với \({u_1} = \frac{{{5^0}}}{{{6^0}}} = 1,\,q = \frac{5}{6}\). Do đó:

\(\frac{{{5^0}}}{{{6^0}}} + \frac{{{5^1}}}{{{6^1}}} + ... + \frac{{{5^n}}}{{{6^n}}} = 1.\frac{{1 - {{\left( {\frac{5}{6}} \right)}^{n + 1}}}}{{1 - \frac{5}{6}}} = 6 - 6.{\left( {\frac{5}{6}} \right)^{n + 1}} = 6 - 5.{\left( {\frac{5}{6}} \right)^n}\)

Vậy \({v_n} = 2 - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} + 6 - 5.{\left( {\frac{5}{6}} \right)^n} = 8 - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} - 5.{\left( {\frac{5}{6}} \right)^n}\)

Do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {v_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left[ {8 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n} - 5.{{\left( {\frac{5}{6}} \right)}^n}} \right] = 8\).

c, Ta có:

\(0 \le \left| {\sin n} \right| \le 1 \Leftrightarrow 0 \le \left| {\frac{{\sin n}}{{4n}}} \right| \le \frac{1}{{4n}}\)

Mà \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{1}{{4n}} = 0\) nên theo nguyên lý kẹp \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left| {\frac{{\sin n}}{{4n}}} \right| = 0\)

 

 

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close