Bài 52 trang 96 SGK Toán 8 tập 1

Đề bài

Cho hình bình hành $ABCD$. Gọi $E$ là điểm đối xứng với $D$ qua điểm $A$, gọi $F$ là điểm đối xứng với $D$ qua điểm $C$. Chứng minh rằng điểm $E$ đối xứng với điểm $F$ qua điểm $B$.

Lời giải chi tiết

                                         

Vì $ABCD$ là hình bình hành (giả thiết)

$\Rightarrow A{\rm{D}}//BC, A{\rm{B}}//DC,$$A{\rm{D}}=BC, A{\rm{B}}=DC$ (tính chất hình bình hành)

Mà $E \in A{\rm{D}}$ (giả thiết) $\Rightarrow AE//BC$

Vì $E$ là điểm đối xứng với $D$ qua điểm $A$ (giả thiết)

$\Rightarrow AE = A{\rm{D}}$ (tính chất hai điểm đối xứng qua 1 điểm)

$\Rightarrow$ $AE = BC$ (cùng bằng $AD$)

Kết hợp với $AE//BC$ (chứng minh trên) 

$\Rightarrow$ Tứ giác $ACBE$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành).

$\Rightarrow$ $BE // AC, BE = AC$       (1) (tính chất hình bình hành)

Ta có: $AB//DC$ (chứng minh trên) $\Rightarrow AB//CF$ 

Vì $F$ là điểm đối xứng với $D$ qua điểm $C$ (giả thiết)

$\Rightarrow CD = CF$ (tính chất hai điểm đối xứng qua 1 điểm)

$\Rightarrow AB = CF$ (cùng bằng $DC$)

Kết hợp với $AB//CF$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow$ Tứ giác $ACFB$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành).

$\Rightarrow$ $BF // AC, BF = AC$       (2) (tính chất hình bình hành)

Từ (1) và (2) suy ra $BE$ và $BF$ cùng song song với $AC$ và cùng đi qua điểm $B$ nên theo tiên đề Ơclit $BE$ trùng $BF$ hay $B, E, F$ thẳng hàng.

Lại có: $BE$ = $BF$ (cùng bằng $AC$) do đó $B$ là trung điểm của $EF$

Vậy $E$ đối xứng với $F$ qua $B$.

 

Loigiaihay.com