Bài 54 trang 96 SGK Toán 8 tập 1

Đề bài

Cho góc vuông $xOy$, điểm $A$ nằm trong góc đó. Gọi $B$ là điểm đối xứng với $A$ qua $Ox$, gọi $C$ là điểm đối xứng với $A$ qua $Oy$. Chứng minh rằng điểm $B$ đối xứng với điểm $C$ qua $O$.

Lời giải chi tiết

$A$ đối xứng với $B$ qua $Ox$ (giả thiết) nên $Ox$ là đường trung trực của $AB$ 

$\Rightarrow$  $OA = OB$  (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)    (1)

$\Rightarrow \Delta AOB$ cân tại $O$ (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

Do đó $Ox$ vừa là đường trung trực đồng thời là phân giác của $\Delta AOB$

$\Rightarrow$ $\widehat O_1=\widehat O_2$   (3)

$A$ đối xứng với $C$ qua $Oy$ (giả thiết) nên $Oy$ là đường trung trực của $AC$

$\Rightarrow$ $OA = OC$   (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)     (2)

$\Rightarrow \Delta AOC$ cân tại $O$ (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

Do đó $Oy$ vừa là đường trung trực đồng thời là phân giác của $\Delta AOC$

$\Rightarrow$ $\widehat O_3=\widehat O_4$    (4) 

Từ (3) và (4) $\Rightarrow$ $\widehat O_1+\widehat O_2+\widehat O_3+\widehat O_4$$=2\widehat O_2+2\widehat O_3=2(\widehat O_2+\widehat O_3)$$=2\widehat {xOy}=2.90^0=180^0$ 

Do đó $B, O, C$ thẳng hàng   (**)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ $OB = OC$ (*)

Từ (*) và (**) $\Rightarrow$ $B$ đối xứng với $C$ qua $O$.

Loigiaihay.com