Bài 5 trang 92 SGK Hình học 12

Trong hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình:

Quảng cáo

Đề bài

Cho mặt cầu \((S)\) có phương trình: \({(x - 3)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 1)^2} = 100\) và mặt phẳng \((α)\) có phương trình \(2x - 2y - z + 9 = 0\). Mặt phẳng \((α)\) cắt mặt cầu \((S)\) theo một đường tròn \((C)\).

Hãy xác định toạ độ tâm và tính bán kính của đường tròn \((C)\).

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).

+) Viết phương trình đường thẳng \(d\) đi qua I và vuông góc với \((\alpha)\).

+) Gọi \(K = \left( \alpha  \right) \cap d\), tìm tọa độ điểm K, K chính là tâm đường tròn (C).

+) Tính khoảng cách \(h = d\left( {I;\left( \alpha  \right)} \right)\), từ đó suy ra bán kính \(r\) của đường tròn (C): \(r = \sqrt {{R^2} - {h^2}} \).

Lời giải chi tiết

Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(3, -2, 1)\) và bán kính \(R = 10\).

Khoảng cách từ tâm \(I\) của mặt cầu \((S)\) đến mặt phẳng \((α)\) là:

\(h=d(I, α)\) = \(\left| {{{2.3 - 2.( - 2) - 1 + 9} \over {\sqrt {{2^2} + {{( - 2)}^2} + {{( - 1)}^2}} }}} \right| = {{18} \over 3} = 6\)

Gọi \(r\) là bán kính đường tròn (C), áp dụng định lí Pitago ta có: \(r = \sqrt {{R^2} - {h^2}}  = \sqrt {{{10}^2} - {6^2}}  = 8\)

Tâm \(K\) của đường tròn \((C)\) là hình chiếu vuông góc của tâm \(I\) của mặt cầu trên mặt phẳng \((α)\).

Mặt phẳng \(((α)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = (2, -2. -1)\).

Đường thẳng \(d\) qua \(I\) và vuông góc với \((α)\) nhận \(\overrightarrow n = (2, -2, -1)\) làm vectơ chỉ phương và có phương trình \(d\) : \(\left\{ \matrix{x = 3 + 2t \hfill \cr y = - 2 - 2t \hfill \cr z = 1 - t \hfill \cr} \right.\)

\(K \in d \Rightarrow K\left( {3 + 2t; - 2 - 2t;1 - t} \right);\,\,K \in \left( \alpha  \right)\) nên thay tọa độ điểm K vào phương trình mặt phẳng \((\alpha)\) ta có: 

\(2.(3+2t)-2.(-2-2t)-(1-t)+9=0\Rightarrow t=-2\)

\( \Rightarrow K\left( { - 1;2;3} \right)\)

Loigiaihay.com

Quảng cáo

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

close