Bài 9 trang 93 SGK Hình học 12

Đề bài

Trong hệ toạ độ $Oxyz$, tìm toạ độ điểm $H$ là hình chiếu vuông góc của điểm $M( 1 ; -1 ; 2)$ trên mặt phẳng $(α): 2x - y + 2z +11 = 0$

Lời giải chi tiết

Điểm $H$, hình chiếu vuông góc của điểm $M$ trên mp $(α)$ chính là giao điểm của đường thẳng $∆$ đi qua $M$ và vuông góc với $(α)$. Mặt phẳng $(α)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n  = (2; -1; 2)$.

Đường thẳng $∆$ đi qua M và vuông góc với mp$(α)$ nhận $\overrightarrow n$ làm vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của $∆$:$\left\{ \matrix{x = 1 + 2t \hfill \cr y = - 1 - t \hfill \cr z = 2 + 2t \hfill \cr} \right.$

$H \in \Delta  \Rightarrow H\left( {1 + 2t; - 1 - t;2 + 2t} \right)$. thay các tọa độ điểm H vào phương trình $mp (α)$, ta có:

$2(1 + 2t) - (-1 - t) + 2(2 + 2t) + 11 = 0$ $\Leftrightarrow   t = -2$

Từ đây ta được $H(-3; 1; -2)$.

Loigiaihay.com