Bài 12 trang 93 SGK Hình học 12

Đề bài

Trong hệ toạ độ $Oxyz$, tìm toạ độ điểm $A'$ đối xứng với điểm $A(1 ; -2 ; -5)$ qua đường thẳng $∆$ có phương trình $\left\{ \matrix{x = 1 + 2t \hfill \cr y = - 1 - t \hfill \cr z = 2t. \hfill \cr} \right.$

Lời giải chi tiết

Gọi $H\left( {1 + 2t; - 1 - t;2t} \right) \in \Delta$ là hình chiếu của $A$ trên $\Delta$.

Có $\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( {2; - 1;2} \right)$ , $\overrightarrow {AH}  = \left( {2t;1 - t;2t + 5} \right)$

$\overrightarrow {AH}  \bot \overrightarrow {{u_\Delta }}  \Leftrightarrow \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {{u_\Delta }}  = 0$ $\Leftrightarrow 2.2t - 1.\left( {1 - t} \right) + 2.\left( {2t + 5} \right) = 0$ $\Leftrightarrow 4t - 1 + t + 4t + 10 = 0$ $\Leftrightarrow 9t + 9 = 0 \Leftrightarrow t =  - 1$ $\Rightarrow H\left( { - 1;0; - 2} \right)$

Vì A' đối xứng với A qua $\Delta$ nên H là trung điểm của AA'. Ta có:

$\begin{array}{l} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_{A'}} = 2{x_H} - {x_A}}\\ {{y_{A'}} = 2{y_H} - {y_A}}\\ {{z_{A'}} = 2{z_H} - {z_A}} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_{A'}} = 2.\left( { - 1} \right) - 1 = - 3}\\ {{y_{A'}} = 2.0 - \left( { - 2} \right) = 2}\\ {{z_{A'}} = 2.\left( { - 2} \right) - \left( { - 5} \right) = 1} \end{array}} \right.\\ \Rightarrow A'\left( { - 3;2;1} \right) \end{array}$

Cách khác:

Ta có thể tìm tọa độ điểm $H$ như sau:

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên đường thẳng $△$. Khi đó $H$ là trung điểm của $AA'$.

Xét mặt phẳng $(P)$ qua $A$ và $(P) ⊥ △$. Khi đó $H = (P) ⋂ △$.

Vì $\overrightarrow u (2; -1; 2)$ là vectơ chỉ phương của $△$ nên $\overrightarrow u$ là vectơ pháp tuyến của $(P)$.

Phương trình mặt phẳng $(P)$ có dạng: $2(x - 1) - (y + 2) + 2(z + 5) = 0$ hay $2x - y + 2z + 6 = 0$      (1)

$H = \Delta  \cap \left( P \right) \Rightarrow H \in \Delta  \Rightarrow H\left( {1 + 2t; - 1 - t;2t} \right)$, thay tọa độ điểm H vào phương trình mặt phẳng (P) ta có: $2(1 + 2t) + (1 + t) + 4t + 6 = 0$

$\Rightarrow 9t + 9 = 0\Rightarrow  t = -1$ $\Rightarrow  H(-1; 0; -2)$.

Loigiaihay.com