Bài 8 trang 93 SGK Hình học 12

Đề bài

Trong hệ toạ độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(α)$ tiếp xúc với mặt cầu

(S): ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 10x + 2y + 26z + 170 = 0$

và song song với hai đường thẳng

$d:\,\,\left\{ \begin{array}{l} x = - 5 + 2t\\ y = 1 - 3t\\ z = - 13 + 2t \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,d':\,\,\left\{ \begin{array}{l} x = - 7 + 3t'\\ y = - 1 - 2t'\\ z = 8 \end{array} \right.$

Lời giải chi tiết

Đường thẳng $\displaystyle d$ có vectơ chỉ phương $\displaystyle \overrightarrow a = (2; -3; 2)$

$\displaystyle d'$ có vectơ chỉ phương $\displaystyle \overrightarrow {a'}  = (3; -2; 0)$

Mặt phẳng $\displaystyle (α)$ song song với $\displaystyle d$ và $\displaystyle d'$ nhận vectơ $\displaystyle \overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow {a'} } \right] =(4;6;5)$ làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình mặt phẳng $\displaystyle (α)$ có dạng: $\displaystyle 4x + 6y + 5z + D = 0$

Mặt cầu $\displaystyle (S)$ có tâm $\displaystyle I(5; -1; -13)$ và bán kính $\displaystyle R = \sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2} + {1^2} + {{\left( { - 13} \right)}^2} - 170}  = \sqrt {25}  = 5$.

Để $\displaystyle (α)$ tiếp xúc với mặt cầu $\displaystyle (S)$, ta phải có:

$\displaystyle d(I, (α)) = R$ $\displaystyle \Leftrightarrow {{\left| {4.5 + 6( - 1) + 5( - 13) + D} \right|} \over {\sqrt {{4^2} + {6^2} + {5^2}} }} = 5$ $\displaystyle  \Leftrightarrow \left| {D - 51} \right| = 5\sqrt {77}$

Ta được hai mặt phẳng thoả mãn yêu cầu:

+) $\displaystyle D - 51 = 5\sqrt{77}$ $\displaystyle  \Rightarrow ({\alpha _1}):4x + 6y + 5z + 51 + 5\sqrt {77}  = 0$

+) $\displaystyle D - 51 = -5\sqrt{77}$ $\displaystyle  \Rightarrow ({\alpha _2}):4x + 6y + 5z + 51 - 5\sqrt {77}  = 0$

Loigiaihay.com