Bài 5 trang 70 SGK Hình học 10 nâng caoCho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi N là trung điểm của CD, M là điểm trên AC sao cho Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi N là trung điểm của CD, M là điểm trên AC sao cho \(AM = {1 \over 4}AC.\) LG a Tính các cạnh của tam giác BMN Lời giải chi tiết: Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD thì M là trung điểm AO. Tam giác ABC vuông tại B nên: \(\begin{array}{l} Do đó \(OA = OB = OC = OD \)\(= \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) \( \Rightarrow OM = \frac{1}{2}OA = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}\) N là trung điểm CD nên \(NC = \frac{1}{2}DC = \frac{a}{2}\). Ta có: \(\eqalign{ Kẻ MP // AD ta có \(\frac{{MP}}{{AD}} = \frac{{CM}}{{CA}} = \frac{3}{4} \)\(\Rightarrow MP = \frac{3}{4}AD = \frac{{3a}}{4}\) \(\frac{{CP}}{{CD}} = \frac{{CM}}{{CA}} = \frac{3}{4} \)\(\Rightarrow CP = \frac{3}{4}CD = \frac{{3a}}{4} \)\(\Rightarrow PD = CD - CP = a - \frac{{3a}}{4} = \frac{a}{4}\) \( \Rightarrow NP = DN - PD = \frac{a}{2} - \frac{a}{4} = \frac{a}{4}\) Tam giác MNP vuông tại P nên: \(M{N^2} = M{P^2} + P{N^2} \)\(= {\left( {{{3a} \over 4}} \right)^2} + {\left( {{a \over 4}} \right)^2} = {{10{a^2}} \over {16}}\,\,\) \(\Rightarrow \,\,MN = {{a\sqrt {10} } \over 4}\) LG b Có nhận xét gì về tam giác BMN ? Tính diện tích tam giác đó. Lời giải chi tiết: Ta có \(MB = MN\) nên tam giác BMN cân tại M. Lại có: \(B{M^2} + M{N^2}\) \(= {\left( {\frac{{a\sqrt {10} }}{4}} \right)^2} + {\left( {\frac{{a\sqrt {10} }}{4}} \right)^2} \) \(= \frac{{5{a^2}}}{4} \) \(= B{N^2}\) nên tam giác BMN vuông tại M. Vậy tam giác BMN vuông cân tại M. Diện tích tam giác BMN là \({S_{BMN}} = {1 \over 2}MB.MN\)\( = \frac{1}{2}\frac{{a\sqrt {10} }}{4}.\frac{{a\sqrt {10} }}{4}= {{5{a^2}} \over {16}}\) LG c Gọi I là giao điểm của BN và AC. Tính CI. Lời giải chi tiết: Tam giác DCB có hai đường trung tuyến CO và BN cắt nhau tại I nên I là trọng tâm tam giác BCD Do đó, \(IC = {2 \over 3}IO = {2 \over 3}.a.{{\sqrt 2 } \over 2} = {{a\sqrt 2 } \over 3}\). LG d Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BDN. Lời giải chi tiết: Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BDN. Áp dụng định lí sin ta có: \({{BN} \over {\sin \widehat {BDN}}} = 2R\) \(\Rightarrow \,\,R = \,{{BN} \over {2\sin {{45}^0}}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 5 }}{2}}}{{2.\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}= {{a\sqrt {10} } \over 4}\) Loigiaihay.com
Quảng cáo
|