Giải bài 6 trang 70 SGK Hình học 10 nâng cao

Trong mặt phẳng tọa độ, cho

Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Trong mặt phẳng tọa độ, cho \(\overrightarrow e  = (4\,;\,1)\) và \(\overrightarrow f  = (1\,;\,4)\).

LG a

Tìm góc giữa các vec tơ \(\overrightarrow e \) và \(\overrightarrow f \).

Lời giải chi tiết:

Góc giữa các vectơ \(\overrightarrow e \) và \(\overrightarrow f \)

\(\eqalign{
& \cos (\overrightarrow {e\,} \,,\,\overrightarrow f ) = {{\overrightarrow {e\,} .\,\overrightarrow f } \over {|\overrightarrow {e\,} |.\,|\overrightarrow {f|} }} \cr&= {{4.1 + 1.4} \over {\sqrt {{4^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {4^2}} }} = {8 \over {17}} \cr 
& \Rightarrow \,\,\,(\overrightarrow {e\,} \,,\,\overrightarrow f ) \approx {61^0}{56'} \cr} \)

LG b

Tìm m để vec tơ \(\overrightarrow a  = \overrightarrow e  + m\overrightarrow f \) vuông góc với trục hoành.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\overrightarrow a  = \overrightarrow {e\,}  + m\overrightarrow {f\,}  = (4 + m\,;\,1 + 4m)\).

Trục hoành Ox có véc tơ đơn vị \(\overrightarrow i  = \left( {1;0} \right)\) nên:

\(\overrightarrow a  = \overrightarrow e  + m\overrightarrow f \) vuông góc với trục hoành

\( \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow a .\,\overrightarrow i  = 0\,\, \Leftrightarrow \,\,4 + m = 0\)

\(\Leftrightarrow m =  - 4\) 

LG c

Tìm n để vec tơ \(\overrightarrow b  = n\overrightarrow e  + \overrightarrow f \) tạo với vec tơ \(\overrightarrow i  + \overrightarrow j \) một góc \({45^0}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\eqalign{
& \overrightarrow b = n\overrightarrow e + \overrightarrow f = (4n + 1\,;\,n + 4)\cr&\overrightarrow i + \overrightarrow j = (1\,;\,1) \cr 
& (\overrightarrow b \,;\,\overrightarrow i + \overrightarrow j ) = {45^0}\cr&\Rightarrow \cos {45^0} = {{\overrightarrow b \,.\,(\,\overrightarrow i + \overrightarrow j )} \over {|\overrightarrow b \,|.\,|\,\overrightarrow i + \overrightarrow j |}} \cr 
&  \Rightarrow \,\,{{\sqrt 2 } \over 2} = {{(4n + 1) + (n + 4)} \over {\sqrt {{{(4n + 1)}^2} + {{(n + 4)}^2}} .\,\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} \cr 
&  \Rightarrow \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{5n + 5}}{{\sqrt {{{\left( {4n + 1} \right)}^2} + {{\left( {n + 4} \right)}^2}} .\sqrt 2 }} \cr&\Rightarrow \sqrt 2 .\sqrt 2 \sqrt {{{\left( {4n + 1} \right)}^2} + {{\left( {n + 4} \right)}^2}}  = 2.\left( {5n + 5} \right)\cr&  \Rightarrow \sqrt {{{\left( {4n + 1} \right)}^2} + {{\left( {n + 4} \right)}^2}}  = 5n + 5\cr&\Rightarrow \,\,{(4n + 1)^2} + {(n + 4)^2} = {(5n + 5)^2} \cr 
& \Leftrightarrow 16{n^2} + 8n + 1 + {n^2} + 8n + 16 = 25{n^2} + 50n + 25\cr& \Rightarrow \,\,8{n^2} + 34n + 8 = 0\cr&\Rightarrow \,\,n = {{ - 1} \over 4}\,;\,\,n = - 4. \cr} \)

Thử lại với \(n =  - 4\) ta có \(\overrightarrow b  = ( - 15\,;\,0)\).

\(\cos (\overrightarrow b \,;\,\overrightarrow i  + \overrightarrow j )\)\( = {{ - 15} \over {15.\sqrt 2 }} =  - {1 \over {\sqrt 2 }}\) (loại)

Với \(n = {{ - 1} \over 4}\,\,;\,\,\overrightarrow b  = \left( {0\,;\,{{15} \over 4}} \right)\)

\(\cos (\overrightarrow b \,;\,\overrightarrow i  + \overrightarrow j ) = {1 \over {\sqrt 2 }}\) (nhận).

Vậy \(n = {{ - 1} \over 4}\).

Loigiaihay.com

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close