Bài 5 trang 63 Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AB = c,\,AC = b$ . Gọi ${V_1},{V_2},{V_3}$  là thể tích các khối tròn xoay sinh bởi tam giác đó (kê cả các điểm trong) khi lần lượt quay quanh $AB, AC, BC$.

a) Tính ${V_1},{V_2},{V_3}$ theo $b, c$.

b) Chứng minh rằng ${1 \over {V_3^2}} = {1 \over {V_1^2}} + {1 \over {V_2^2}}$

Lời giải chi tiết

a) Khi quay tam giác $ABC$ quanh $AB$ ta được khối nón có chiều cao $AB = c$ và bán kính đáy $AC = b$ nên có thể tích $V_1 = {1 \over 3}\pi c{b^2}$

Tương tự khi quay tam giác $ABC$ quanh $AC$ ta được khối nón có thể tích ${V_2} = {1 \over 3}\pi b{c^2}$

Gọi $AH$ là chiều cao của tam giác $ABC$. Khi quay tam giác $ABC$ quanh $BC$ ta được hai khối nón sinh bởi hai tam giác $ABH$ và $ACH$.

Ta có: $\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{{A{C^2} + A{B^2}}}{{A{B^2}.A{C^2}}}$

$\Rightarrow A{H^2} = \frac{{A{B^2}.A{C^2}}}{{A{B^2} + A{C^2}}} = \frac{{{b^2}{c^2}}}{{{b^2} + {c^2}}}$ $\Rightarrow AH = \frac{{bc}}{{\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}$

Khi đó ta có 
${V_3} = {1 \over 3}\pi A{H^2}.BH + {1 \over 3}\pi A{H^2}.CH$ $= {1 \over 3}\pi AH^2.BC$ $= {1 \over 3}\pi {\left( {{{bc} \over {\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}} \right)^2}\sqrt {{b^2} + {c^2}}$ $= {1 \over 3}{{\pi {b^2}{c^2}} \over {\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}$

b) Ta có: ${1 \over {V_3^2}} = {{9\left( {{b^2} + {c^2}} \right)} \over {\pi ^2 {b^4}{c^4}}}$

${1 \over {V_1^2}} + {1 \over {V_2^2}} = {9 \over {\pi ^2{c^2}{b^4}}} + {9 \over {\pi ^2{b^2}{c^4}}}$ $= {{9\left( {{b^2} + {c^2}} \right)} \over {\pi^2 {b^4}{c^4}}} = {1 \over {V_3^2}}$

Loigiaihay.com