Bài 4 trang 63 SGK Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Cho hình nón $(N)$ sinh bởi tam giác đều cạnh $a$ khi quay quanh một đường cao của tam giác đó.

a) Một mặt cầu có diện tích bằng diện tích toàn phần của hình nón $(N)$ thì có bán kính bằng bao nhiêu?

b) Một khối cầu có thể tích của khối nón $(N)$ thì có bán kính bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Hình nón $(N)$ có bán kính đáy $r = BH = {1 \over 2}a$, chiều cao $h = AH = {{a\sqrt 3 } \over 2}$ và đường sinh $l = AB = a$.

Diện tích toàn phần

${S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_d} = \pi rl + \pi {r^2} = \pi {{{a^2}} \over 2} + \pi {{{a^2}} \over 4} = {3 \over 4}\pi {a^2}$
Thể tích $V = {1 \over 3}\pi {r^2}h = {1 \over 3}\pi {{{a^2}} \over 4}.{{a\sqrt 3 } \over 2} = {{\sqrt 3 } \over {24}}\pi {a^3}$

a) Nếu mặt cầu có bán kính $R$ thì diện tích bằng $4\pi {R^2}$ nên $4\pi {R^2} = {3 \over 4}\pi {a^2} \Rightarrow R = {{a\sqrt 3 } \over 4}$

b) Nếu khối cầu có bán kính $R$ thì thể tích bằng ${4 \over 3}\pi {R^3}$ nên ${4 \over 3}\pi {R^3} = {{\sqrt 3 } \over {24}}\pi {a^3} \Rightarrow R = {{\root 6 \of {12} } \over 4}a$

Loigiaihay.com