Bài 2 trang 63 SGK Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$, biết $SA = SB = SC = a$, $\widehat {ASB} = {60^0},\widehat {BSC} = {90^0},\widehat {CSA} = {120^0}$

Lời giải chi tiết

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác $SAB, SAC$ ta có:

$\eqalign{ & A{B^2} = S{A^2} + S{B^2} - 2SA.SB.\cos {60^0} \cr  & = {a^2} + {a^2} - 2{a^2}.{1 \over 2} = {a^2} \Rightarrow AB = a \cr  & A{C^2} = S{A^2} + S{C^2} - 2SA.SC.\cos {120^0} \cr  & = {a^2} + {a^2} - 2{a^2}\left( { - {1 \over 2}} \right) = 3{a^2}\cr & \Rightarrow AC = a\sqrt 3 \cr}$

Trong tam giác vuông $SBC$ có: $B{C^2} = S{B^2} + S{C^2} = 2{a^2}$ $\Rightarrow BC = a\sqrt 2$

Ta có: $A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} \Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại $B$.

Gọi $H$ là trung điểm của $AC$ thì $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Vì $SA = SB = SC$ nên $SH \bot mp\left( {ABC} \right)$

Và $S{H^2} = S{C^2} - H{C^2}$ $= {a^2} - {\left( {{{a\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2}$ $= {{{a^2}} \over 4} \Rightarrow SH = {a \over 2}$

Gọi O là điểm đối xứng của S qua H.

Khi đó $OS = 2SH = 2.\frac{a}{2} = a$.

Tam giác OAH vuông tại $H$ nên theo Pitago ta có

$OA = \sqrt {A{H^2} + O{H^2}}$ $= \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}  = a$

Lại có SH là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và $O \in SH$ nên $OA = OB = OC = a$.

Vậy $OS = OA = OB = OC = a$ hay $O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ và bán kính $R = a$.

Cách khác:

Ta có: $HA = HB = HC$, $SA = SB = SC$ nên $SH$ là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

$\Rightarrow$ tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC nằm trên $SH$.

Gọi M là trung điểm của SA.

Trong $\left( {SAC} \right)$, kẻ đường thẳng $d$ đi qua M và vuông góc $SA$ cắt $SH$ tại $O$

($d$ là đường trung trực của $SA$ )

Khi đó:

$O \in SH \Rightarrow OA = OB = OC$

$O \in d \Rightarrow OS = OA$

$\Rightarrow$ $OS = OA = OB = OC$  hay O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

Xét $\Delta SMO$ và $\Delta SHA$ có:

$\widehat S$ chung

$\widehat {SMO} = \widehat {SHA} = {90^0}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta SMO \sim \Delta SHA\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{SM}}{{SH}} = \frac{{SO}}{{SA}} \Rightarrow SM.SA = SH.SO\\ \Rightarrow \frac{1}{2}SA.SA = SH.SO\\ \Rightarrow \frac{1}{2}{a^2} = \frac{a}{2}.SO \Rightarrow SO = a\end{array}$

Vậy bán kính $R = a$.

Loigiaihay.com