Bài 5 trang 24 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Tính các giá trị lượng giác của góc \(\alpha \), biết:

a) \(\cos2\alpha  = \frac{2}{5}, - \frac{\pi }{2} < \alpha  < 0\);

b) \(\sin 2\alpha  =  - \frac{4}{9},\frac{\pi }{2} < \alpha  < \frac{{3\pi }}{4}\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

\(\cos2\alpha  = 2{\cos ^2}\alpha  - 1 = \frac{2}{5}\)

\(\Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha  = \frac{7}{{10}} \Rightarrow \cos \alpha  =  \pm \frac{{\sqrt {70} }}{{10}}\).

Vì \( - \frac{\pi }{2} < \alpha  < 0 \Rightarrow \cos \alpha  = \frac{{\sqrt {70} }}{{10}}\).

Lại có: \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\)

\(\Rightarrow {\sin ^2}\alpha  = 1 - \frac{7}{{10}} = \frac{3}{{10}}\)

\(\Rightarrow \sin \alpha  =  \pm \frac{{\sqrt {30} }}{{10}}\)

\( - \frac{\pi }{2} < \alpha  < 0 \Rightarrow \sin \alpha  =  - \frac{{\sqrt {30} }}{{10}}\).

\(\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{cos\alpha }} = \frac{{ - \frac{{\sqrt {30} }}{{10}}}}{{\frac{{\sqrt {70} }}{{10}}}} =  - \frac{{\sqrt {21} }}{7}\).

\(\cot \alpha  = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{{ - \frac{{\sqrt {21} }}{3}}} =  - \frac{{\sqrt {21} }}{{3 }}\).

b) Ta có: \({\sin ^2}2\alpha  + {\cos ^2}2\alpha  = 1\)

\(\Rightarrow \cos 2\alpha  = \sqrt {1 - {{\left( { - \frac{4}{9}} \right)}^2}}  =  \pm \frac{{\sqrt {65} }}{9}\).

Vì \(\frac{\pi }{2} < \alpha  < \frac{{3\pi }}{4}\) \(\Rightarrow \pi  < 2\alpha  < \frac{{3\pi }}{2}\) \( \Rightarrow \cos2\alpha  =  - \frac{{\sqrt {65} }}{9}\).

\(cos2\alpha  = 2{\cos ^2}\alpha  - 1 =  - \frac{{\sqrt {65} }}{9}\)

\(\Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha  = \frac{{9 - \sqrt {65} }}{{18}} \Rightarrow \cos \alpha  =  \pm \sqrt {\frac{{9 - \sqrt {65} }}{{18}}}\).

Vì \(\frac{\pi }{2} < \alpha  < \frac{{3\pi }}{4} \Rightarrow \cos \alpha  =  - \sqrt {\frac{{9 - \sqrt {65} }}{{18}}} \).

Lại có: \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\)

\(\Rightarrow {\sin ^2}\alpha  = 1 - \frac{{9 - \sqrt {65} }}{{18}} = \frac{{9 + \sqrt {65} }}{{18}}\)

\( \Rightarrow \sin \alpha  =  \pm \sqrt {\frac{{9 + \sqrt {65} }}{{18}}}\).

Vì \(\frac{\pi }{2} < \alpha  < \frac{{3\pi }}{4} \Rightarrow \sin \alpha  = \sqrt {\frac{{9 + \sqrt {65} }}{{18}}} \).

\(\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos\alpha }} = \frac{{\sqrt {\frac{{9 + \sqrt {65} }}{{18}}} }}{{ - \sqrt {\frac{{9 - \sqrt {65} }}{{18}}} }} \approx  - 4,266\).

\(\cot \alpha  = \frac{1}{{\tan \alpha }} \approx  - 0,234\).