Bài 5 trang 12 SGK Hình học 10

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\). Tính độ dài của các vectơ \(\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BC}\) và \(\overrightarrow{AB}- \overrightarrow{BC}.\)

Lời giải chi tiết

Ta có \(\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BC}= \overrightarrow{AC}\) (quy tắc 3 điểm)

Suy ra \(\left | \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} \right | = \left | \overrightarrow{AC} \right |= a.\)

Ta có: \(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{CB}.\)

Trên tia \(CB,\) lấy điểm \(E\) sao cho \(\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{CB}.\)

\( \Rightarrow \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CB} \) \( = \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BE}= \overrightarrow{AE}\)

Xét tam giác \(EAC\) ta có: đường trung tuyến \(AB\) bằng nửa cạnh \(CE\) nên là tam giác vuông tại \(A\)

Áp dụng định lý Pitago ta có:

\(A{E^2} + A{C^2} = C{E^2} \) \( \Leftrightarrow AE = \sqrt {C{E^2} - A{C^2}} \)

Mà \(AC = a, \, CE = 2a,\) 

Suy ra \(AE= \sqrt {4{a^2} - {a^2}}  \)\(= a\sqrt 3. \)

Vậy \(\left | \overrightarrow{AB } -\overrightarrow{BC}\right | = \left | \overrightarrow{AE} \right | = a\sqrt3.\)

Cách khác:

Dựng hình bình hành ABCD ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CB} \\ = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {DA}  = \overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {AB} \\ = \overrightarrow {DB} \\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {DB} } \right| = DB\end{array}\)

+ Tính BD:

Hình bình hành ABCD có AB = BC = a nên ABCD là hình thoi.

⇒ AC ⊥ BD tại O là trung điểm của AC và BD.

Loigiaihay.com