Bài 9 trang 12 SGK Hình học 10

Đề bài

Chứng minh rằng $\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{CD}$ khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng $AD$  và $BC$ trùng nhau.

Lời giải chi tiết

Ta chứng minh hai mệnh đề.

a) Cho $\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{CD}$ thì $AD$ và $BC$ có trung điểm trùng nhau.

Gọi $I$ là trung điểm của $AD$ ta chứng minh $I$ cũng là trung điểm của $BC$.

Theo quy tắc của ba điểm của tổng, ta có 

$\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB}$;

$\overrightarrow{CD}= \overrightarrow{CI}+ \overrightarrow{ID}$

Vì $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ nên $\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB}=  \overrightarrow{CI}+ \overrightarrow{ID}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AI} - \overrightarrow{ID} = \overrightarrow{CI} - \overrightarrow{IB}$

$\Rightarrow\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{DI} = \overrightarrow{CI} + \overrightarrow{BI}$    (1)

Vì $I$ là trung điểm của $AD$ nên $\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {ID}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{DI} = \overrightarrow{0}$  (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\overrightarrow{CI} + \overrightarrow{BI} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow {IC}  + \overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0$  (3)

Đẳng thức (3) chứng tỏ $I$ là trung điểm của $BC$.

b) $AD$ và $BC$ có cùng trung điểm $I$, ta chứng minh $\overrightarrow{AB}$ = $\overrightarrow{CD}$.

$I$ là trung điểm của $AD$ $\Leftrightarrow \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {ID}  = \overrightarrow 0 \Rightarrow \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{DI} = \overrightarrow{0}$   $\Rightarrow\overrightarrow{AI} - \overrightarrow{ID} =\overrightarrow{0}$

$I$ là trung điểm của $BC$ $\Leftrightarrow \overrightarrow {IC}  + \overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0$ $\Rightarrow \overrightarrow{CI} + \overrightarrow{BI}= \overrightarrow{0}$    $\Rightarrow \overrightarrow{CI} - \overrightarrow{IB}= \overrightarrow{0}$

Suy ra  $\overrightarrow{AI} - \overrightarrow{ID}=  \overrightarrow{CI}- \overrightarrow{IB}$ 

$\Rightarrow \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{CI}+ \overrightarrow{ID}$    $\Rightarrow \overrightarrow{AB}= \overrightarrow{CD}$ (đpcm)

Cách khác:

Gọi trung điểm của AD là I, trung điểm BC là J.

Khi đó ta có: $\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {ID}  = \overrightarrow 0 ,\overrightarrow {JB}  + \overrightarrow {JC}  = \overrightarrow 0$

Mà theo quy tắc ba điểm ta có:

⇔ I ≡ J hay trung điểm AD và BC trùng nhau (đpcm).

Loigiaihay.com