Bài 46 trang 126 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

a)Cho mặt cầu có phương trình

Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LG a

Cho mặt cầu có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x - 2y + 4z + 5 = 0\) và điểm \({M_0}(4;3;0)\). Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm \({M_0}.\)

Lời giải chi tiết:

Dễ thấy điểm \({M_0}(4;3;0)\) thuộc mặt cầu và điểm \(I(3;1; - 2)\) là tâm mặt cầu. Do đó, mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm M0 là mặt phẳng đi qua điểm M0 với vec tơ pháp tuyến \(\overrightarrow {I{M_0}} \), nó có phương trình :

\(1.(x - 4) + 2(y - 3) + 2(z - 0) = 0\) hay \(x + 2y + 2z - 10 = 0.\)

LG b

Viết phương trình mặt cầu có tâm I(-2;1;1) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) có phương trình \(x + 2y - 2z + 5 = 0.\)

Lời giải chi tiết:

Bán kính R của mặt cầu phải tìm bằng khoảng cách từ tâm I(-2;1;1) tới mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) nên \(R = {{\left| { - 2 + 2 - 2 + 5} \right|} \over {\sqrt {1 + 4 + 4} }} = 1.\)

Vậy phương trình mặt cầu là

\({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 1.\)

LG c

Cho bốn điểm \(A(3; - 2; - 2),B(3;2;0),C( - 1;1;2).\) Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với mặt phẳng (BCD).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\overrightarrow {BC}  = ( - 3;0;1),\overrightarrow {BD}  = ( - 4; - 1;2) \)

\(\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right] = (1;2;3)\).

Vậy phương trình mặt phẳng (BCD) là :

\(1(x - 3) + 2(y - 2) + 3(z - 0) = 0\) hay \(x + 2y + 3z - 7 = 0.\)

Gọi R là bán kính mặt cầu cần tìm, ta có :

\(R = d\left( {A,\left( {BCD} \right)} \right) = {{\left| {3 + 2( - 2) + 3( - 2) - 7} \right|} \over {\sqrt {1 + 4 + 9} }} = \sqrt {14} .\)

Vậy phương trình mặt cầu là :

\({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 14.\)

LG d

Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm \(A(1;0;0),B(0;1;0),C(0;0;1)\) và có tâm I nằm trên mặt phẳng \(x + y + z - 3 = 0.\)

Lời giải chi tiết:

Phương trình mặt cầu (S) phải tìm có dạng

\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0.\)

Ta có \(\eqalign{  & A \in (S) \Rightarrow 1 - 2a + d = 0,  \cr  & B \in (S) \Rightarrow 1 - 2b + d = 0,  \cr  & C \in (S) \Rightarrow 1 - 2c + d = 0. \cr} \)

Đồng thời tâm I(a; b; c) của mặt cầu thuộc mặt phẳng \(x + y + z - 3 = 0\) nên \(a + b + c - 3 = 0.\)

Giải hệ \(\left\{ \matrix{  1 - 2a + d = 0 \hfill \cr  1 - 2b + d = 0 \hfill \cr  1 - 2c + d = 0 \hfill \cr  a + b + c - 3 = 0 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow a = b = c = d = 1.\)

Vậy phương trình mặt cầu là

\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 2z + 1 = 0.\)

Loigiaihay.com

Xem thêm tại đây: Bài 2. Phương trình mặt phẳng
Quảng cáo
list
close
Gửi bài Hỏi bài