Bài 45 trang 86 SGK Toán 9 tập 2

Đề bài

Cho các hình thoi $ABCD$ có cạnh $AB$ cố định. Tìm quỹ tích giao điểm $O$ của hai đường chéo của các hình thoi đó.

Lời giải chi tiết

                    

Dự đoán: Quỹ tích cần tìm là nửa đường tròn đường kính AB.

Chứng minh: 

Phần thuận:

Vì ABCD là hình thoi nên $AC \bot BD$ tại $O.$ (Tính chất)

Vậy điểm $O$ nhìn $AB$ cố định dưới góc $90^0.$

$\Rightarrow$ Quỹ tích điểm $O$ là nửa đường tròn đường kính $AB.$

Phần đảo: 

Chứng minh với mọi điểm O thuộc nửa đường tròn đường kính AB ta đều có hình thoi ABCD thỏa mãn đề bài.

+ Lấy điểm O thuộc nửa đường tròn đường kính AB

+ Lấy C đối xứng với A qua O

+ Lấy D đối xứng với B qua O.

Tứ giác ABCD có AC cắt BD tại O là trung điểm mỗi đường

⇒ ABCD là hình bình hành (Dấu hiệu nhận biết)

Mà O thuộc nửa đường tròn đường kính AB 

$⇒ \widehat {AOB} = {90^0}$

⇒ AC ⊥ DB

⇒ Hình bình hành ABCD là hình thoi (Hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc)

Kết luận: Quỹ tích điểm O là nửa đường tròn đường kính AB (khác A và B)

Loigiaihay.com