Bài 4 trang 99 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(E,F,G\) lần lượt là ba điểm trên ba cạnh \(AB,AC,BD\) sao cho \(EF\) cắt \(BC\) tại \(I\left( {I \ne C} \right)\), \(EG\) cắt \(A{\rm{D}}\) tại \(H\left( {H \ne D} \right)\).

a) Tìm giao tuyến của các mặt phẳng \(\left( {EFG} \right)\) và \(\left( {BCD} \right)\); \(\left( {EFG} \right)\) và \(\left( {ACD} \right)\).

b) Chứng minh ba đường thẳng \(CD,IG,HF\) cùng đi qua một điểm.

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}G \in \left( {EFG} \right)\\G \in BD \subset \left( {BCD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow G \in \left( {EFG} \right) \cap \left( {BCD} \right)\\\left. \begin{array}{l}I \in EF \subset \left( {EFG} \right)\\I \in BC \subset \left( {BCD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow I \in \left( {EFG} \right) \cap \left( {BCD} \right)\end{array}\)

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {EFG} \right)\) và \(\left( {BCD} \right)\) là đường thẳng \(GI\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}F \in \left( {EFG} \right)\\F \in AC \subset \left( {ACD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow F \in \left( {EFG} \right) \cap \left( {ACD} \right)\\\left. \begin{array}{l}H \in EG \subset \left( {EFG} \right)\\H \in A{\rm{D}} \subset \left( {ACD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow H \in \left( {EFG} \right) \cap \left( {ACD} \right)\end{array}\)

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {EFG} \right)\) và \(\left( {ACD} \right)\) là đường thẳng \(HF\).

b) Gọi \(J\) là giao điểm của \(CD\) và \(IG\).

Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}J \in IG \subset \left( {EFG} \right)\\J \in C{\rm{D}} \subset \left( {ACD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow J \in \left( {EFG} \right) \cap \left( {ACD} \right)\)

Mà \(F \in \left( {EFG} \right) \cap \left( {ACD} \right),H \in \left( {EFG} \right) \cap \left( {ACD} \right)\) (theo chứng minh phần a).

Do đó ba điểm \(H,F,J\) thẳng hàng.

Vậy ba đường thẳng \(CD,IG,HF\) cùng đi điểm \(J\).